Линейни уравнения и неравенства

Линейни уравнения и неравенства

Romanishin Дийн Solomonovna, математика гимназия учител №2 Хабаровск

1. уравнения с една променлива.

Половете, съдържащ променлива, наречена уравнение с една променлива или уравнение с един неизвестен. Например, едно уравнение с една променлива е уравнение 3 (2х + 7) = 4-1.

Коренът или разтвор на уравнението е стойността на променливата за които уравнението става вярно цифров равенство. Например, номер 1 е разтвор на 2 + 5 = 8x-1. х2 уравнение + 1 = 0 няма решение, тъй лявата страна на уравнението е винаги по-голяма от нула. Уравнение (х + 3) (4-х) = 0 има две корени: Х1 = 3, Х2 = 4.

Решете уравнението - това означава да намерите всички корените му или да докаже, че корените не го правят.

Формулите се наричат ​​еквипотенциални ако всички корените на първото уравнение са корените на второто уравнение, и обратното, всички корените на второто уравнение са корените на първото уравнение или, ако двете уравнения са без корени. Например, уравнение х = 8 и 2 х 20 + 10 = еквивалент, защото корен на първото уравнение х = 10 е корен и второто уравнение, двете уравнения имат един корен.

Следните свойства се използват за решаване на уравнения:

Ако уравнението да се движат на срока от една част към друга, да промени неговия знак, а след това можете да получите на уравнението, които са еквивалентни на това.

Ако и двете части на уравнението умножават или разделени от един и същ номер, различен от нула, можете да получите едно уравнение, еквивалентно на това.

Уравнението брадва = В, където х - променлива, а и б - са числа, се нарича линейно уравнение с една променлива.

Ако = 0, Ь = 0, тогава уравнение отговаря всяка стойност на х.

Ако = 0, b¹0, след уравнението няма решение, тъй като 0x = б не е изпълнено за стойността на променливата.

Пример 1. решаване на уравнението: -8 (11-2h) + 40 = 3 (4-5X)

Нека отворим скобите от двете страни на уравнението, прехвърли всички термини с х към лявата страна на уравнението, а условията не съдържат х, от дясната страна, получаваме:

Пример 2: решаване на уравнение:

Тези уравнения не са линейни, но показват как да решим тези уравнения.

За да фактор в лявата част на уравнението:

х2 (х2) -9 (х2) = (х2) (h2-9) = (х2) (3-х) (х-3), т.е. (X-2), (х-3), (х + 3) = 0. Това показва, че разтвори на това уравнение са x1 = 2, х2 = 3, и x3 = -3.

в) представлява 7х като 3x + 4, тогава имаме: х 2 + 3 + 4 + 12 = 0, х (х + 3) 4 (х + 3) = 0, (х + 3) (х + 4) = 0, следователно x1 = 3, Х2 = - 4.

Пример 3. решаване на уравнението: 1 + ½hç+ ½h-1ç= 3.

Например: ½3½ = 3, ½0½ = 0, ½- 4½ = 4.

В това уравнение, знак модул са числата х 1 и х + 1. Ако х е по-малка от -1, броят х + 1 е отрицателен, тогава ½h + 1½ = -x-1. Ако х> 1, след това ½h + 1½ = х + 1. За х = -1 ½h + 1½ = 0.

014.gif ">, броят принадлежи х £ -1.

б) Да -1 <х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.

в) Да разгледаме случая на х> 1.

016.gif ">. Този номер принадлежи на х> 1.

Отговор: Х1 = -1.5; Х2 = 1.5.

Пример 4. решаване на уравнението: ½h + 2½ + = 3½h½ 2½h-1½.

Ще покажем на кратка форма на решението на уравнението, разкривайки знака "на пропуските" на модула.

х -2 £, - (х + 2) -3 Н = -2 (х-1) - 4 = 4, х = -2Î(- ¥; -2]

-2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]

0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]

х> 1 х + 2 + 3 = 2 (х-1) = с 2 - 4, х = -2Ï(1 + ¥)

Пример 5 решаване на уравнението: (а-1), (А + 1) = х (а-1), (а + 2) за всички стойности на параметъра а.

В това уравнение всъщност две променливи, казват х, но неизвестен, и добре параметър. Необходими за решаване на уравнението по отношение на х, за всяка стойност на параметъра.

Ако = 1, тогава уравнение има формата 0 х х = 0, това уравнение е изпълнено произволен брой.

Ако А = 1, тогава уравнение има формата 0 х х = 2, това уравнение не отговаря всяка една редица.

Отговор: Ако = 1, тогава х - произволен брой;

ако а = 1, тогава не съществуват решения;

2. Системата от уравнения с две променливи.

Решаването на системата от уравнения с две променливи е двойка стойности на променливите, достъпни от всяка уравнение на системата в истинско равенство. Решете системата - означава да намерите всички свои решения, или да докаже, че те не са. Две системи уравнения се наричат ​​равнопотенциални ако всяко решение на първата система е решение на втората система и всяко решение на втората система е първото решение на системата, или и двете имат не решения.

използва заместване и допълнение метод на методи за решаване на линейни системи.

Пример 1: решаване на системата от уравнения:

023.gif "> в второто уравнение, получаваме

Пример 2: решаване на системата от уравнения:

За решаването на тази система от уравнения е приложим метод допълнение. 8x = 16, х = 2. Заместването стойността х = 2 в първото уравнение, ние получаваме 10 у = 9, у = 1.

Пример 3 За решаването на системата от уравнения:

Тази система е еквивалентно на уравнението 2x единични + у = 5, тъй второто уравнение се получава от първия умножи по 3. Следователно, тя отговаря всяка двойка от числа (х; 5-2h). Системата има безкраен брой решения.

A: (х; 5-2h), X е всяка.

Пример 4 За решаването на системата от уравнения:

Размножава първото уравнение от -2 и добавете второто уравнение, получаваме 0 х 0 + х х у = -6. Това уравнение не отговаря на всяка една двойка числа. Ето защо, тази система няма решение.

Отговор: Системата все още няма решения.

Пример 5 решаване на системата:

Отговор: когато а = -2sistema няма решение,

Пример 6 За решаването на системата от уравнения:

Дадено ни система от три уравнения с три неизвестни. Ние прилага метод на Гаус който има същата мощност трансформации, които водят системата с триъгълна форма. Добавете втори до първото уравнение, умножена по -2.

След третото уравнение във втората добавката умножена по -3,

Накрая се добавят към този уравнение, уравнението Y-Z = -1, умножена по две, ние се получи - 4Z = -12, Z = 3. Така че ние се система от уравнения:

Z = 3, което е еквивалентно на това.

Система от този вид се нарича триъгълник.

3. Разрешаване на проблеми с помощта на уравнения и системи от уравнения.

Ще покажем пример, как да реши проблемите с помощта на уравнения и системи от уравнения.

ПРИМЕР 1 сплав от калай и мед с тегло 32 кг съдържа 55% калай. Как чист калай, за да бъде добавен към сплав на schsoderzhalos 60% калаена сплав в новата?

Решение. Нека масата на калай прибавя към изходния сплавта е X кг. След това масата на сплав (32 + х) кг ще съдържа 60% калай и 40% мед. сплав майка съдържа 55% калай и 45% мед, т.е. Cu него е 0.45 · 32 кг. Тъй като масата на мед в оригиналните и нови сплави е същото, ние получаваме уравнението на 0,45 · 32 = 0.4 (32 + х).

Чрез решаването на този, намери х = 4, т.е. в сплавта трябва да се добавят 4 кг калай.

Пример 2. Тя е замислена двуцифрено число, което десетки двуцифрени числа по-малко от 2 единици. Ако този брой се разделя на сумата от цифрите му в частния, така и ще се превърне в 4 остатъка 6. Какъв номер е замислена?

Решение. Нека броя единици е х, след това десетки цифра е равно на 2-х (х> 2) има формата замислен номер 10 (х-2) = х + 11x-20. Сумата от цифри от х = х 2 + 2х-2. Следователно, разделянето 11x-20 2-2, ние получаваме по-специално при остатък 4 и 6. равнява: 11x-20 = 4 (2х-2) 6, като дивидента е делител умножен по коефициент плюс остатъка. Решаването на това уравнение, ние получаваме х = 6. Така броят 46 е замислена.

Пример 3. Три чекмедже пълни с ядки. Във втората кутия ядки 10% по-голяма, отколкото в първия и 30% повече в сравнение с третия. Колко ядки във всяка кутия, ако в първите 80 гайки повече в сравнение с третото?

Решение. първата кутия Да беше ядки, в третата - ш. След това във втората кутия е х = + 0.1 х 1,1h или у + 0,3y = 1,3y. Като се има предвид, че първата кутия са 80 на ядки повече от една трета от които се състои системата уравнения:

048.gif ">. Когато у = 440, х = 520, 572 = 1,1h.

Забележка. Можете да се реши този проблем, без да прави системата на уравнения. Да предположим, че в първата клетка е х ядки, докато през третото - X-80, във втората - 1,1h или 1.3 (х-80). Имаме уравнение: 1,1h = 1.3 (х-80) х = 520.

Отговор: в първата клетка на ядки е 520, във втория - 572, трета - 440.

Пример 4. От двата града А и В на разстояние 180 km, в 6 часа и 20 минути. Излязохме да се срещнат помежду автобуси и леки автомобили. Тяхната среща настъпили в 7 ч 50 мин. Ако автобусът дойде на 1 час и 15 минути. по-рано, и кола за 15 минути. по-късно, те ще се срещнат в 7 ч 35 мин. Каква е скоростта на автобуса и колата?

Решение. Нека автобус скорост V1 км / ч, скоростта на колата V2 км / ч. Тъй среща настъпили след 1.5 часа, след това ние имаме уравнение: 1,5V1 + 1,5V2 = 180. Ако автобусът дойде на 1 час 15 минути. по-рано, той щеше да е на пътя в продължение на 2 часа и 30 минути. (7 ч 35 мин. - 5 мин на 5 часа 2 = Н 30 мин ..). Ако една кола излезе за 15 минути. по-късно, той ще бъде в начина на 1 час (7 ч 35 мин. -. 6 часа 35 минути = 1 час). Ние получи уравнението: 2,5V1 + V2 = 180.

По този начин, ние имаме система от две уравнения с две неизвестни:

050.gif ">, където V1 = 40 km / h, V2 = 80 km / h.

Отговор: 40 km / h, 80 km / h.

4. неравенства Линейни в една променлива.

Ако променливата х да дават никакви числена стойност, ние получаваме числено неравенство, която изразява по-вярно или невярно твърдение. Да предположим, например, даден неравенството 5х-1> 3 + 2. Когато х = 2, ние получаваме 5 · 2.1> 3 · 2 + 2 - вярно твърдение (правилно цифров изказване); когато х = 0 получаваме 5 · 0-1> 3 · 0 + 2 - фалшиво твърдение. Всяка стойност на променливата при което това неравенство променлива става вярно цифров неравенство се нарича разтвор на неравенство. Решете променливата на неравенството - означава да се намери множеството от всички негови решения.

Две неравенства с една променлива х се казва, че са еквивалентни ако множеството от разтвори на тези неравенства съвпадат.

Основната идея на решаването на неравенството е следното: заместим това неравенство е друг, по-опростена, но еквивалентна на сегашната; получената неравенството отново заменен от по-простото неравенство еквивалент на него и т.н.

Такива замествания са направени въз основа на следните твърдения.

Теорема 1. Ако някой от членовете на неравенството с една променлива да се премине от едната страна на другата с обратен знак, като оставят без знака на неравенството, ние получаваме неравенството е еквивалентно на това.

Теорема 2. Ако двете страни на една променлива, умножена или дели на същата положителна броя, като оставят без знака на неравенството, получаваме неравенството еквивалентно на това.

Теорема 3. Ако двете страни на неравенството с една променлива, умножена или разделен от един и същ отрицателен номер, промяна на знака на неравенството е наопаки, получаваме неравенството е еквивалентно на това.

Линеен неравенство наречен тип брадва + б> 0 (съответно, брадва + б<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.

Пример 1. решаване неравенството 2 (х-3) +5 (1-х) ³3 (2Н-5).

Премахване на скобите, получаваме 2x + 6 5-5h³6h-15

Безплатно от знаменатели, които се размножават и двете страни на положително число 6, оставяйки без промяна на знака на неравенството.

Последното неравенство е вярно за всяка стойност на х, тъй като за всяка стойност на променливата х се получава вярно твърдение 0> -55. Ето защо, много от решенията му е цялата реална линия.

Пример 3. решаване неравенството: ½h-1½<3.

Въз основа на това неравенство определяне модул могат да бъдат написани като комбинация от две системи на неравенство

решаването на този набор се получи (2), така че разтвор на това неравенство е интервалът (-2, 4).

Пример 4. решаване неравенството: ½h + 1½> 2.

тук х> 0.5 на първата система, а втората система - не решения.

5. система и набор от неравенства.

Тя се казва, че някои неравенства с една променлива образуват система, ако задачата е да се намерят много общи решения, дадени на неравенството.

Стойността на променливата, в която всяка система на неравенството става правилен числен неравенство нарича системно решение на неравенството.

Разтворът набор от система от неравенството е пресечната точка на комплектите на разтвори на неравенства, формиращи системата. Неравенства образуващи система, съчетана скоба.

Тя се казва, че някои неравенства с една променлива образуват комплект, ако задачата е да се намерят много от тези решения, всяко от които е разтвор на поне един от тези неравенства.

Стойността на променливата, при което поне един от неравенства, които множеството изготвен в правилния цифров неравенството, колективно нарича разтвор на неравенства.

076.gif "> означава, че неравенството образуват комплект.

Задачи за независим решение

Следващите задачи са задачи на управлението. Необходимо е да се разреши всички проблеми, обаче, ако тя не е в състояние да изпрати тези решен. Правила за регистрация на строителството, виждат в уводната статия.

M9.1.1 Решете уравнението:

M9.1.3 Идентифицирайте при какви стойности на параметри и уравнението няма решение:

M9.1.5 Ако някои от стойностите на параметрите и системата има безкрайно много решения?

M9.1.6 За решаване на проблема:

а) сплав, състояща се от цинк и мед, съдържаща се в него в съотношение 1: 2, а другият съдържа същата сплав от метали в съотношение 2: 3. Колко парчета на двете сплави може да получи трета сплав, съдържаща тези метали като срещу 17:27?

б) разстоянието между кейове А и корабът отива надолу по реката в продължение на 5 часа, а срещу течението за 6 часа. За колко часа плува по течението разстояние сал?

M9.1.9 Намери неравенства геометрии системи и най-малко един вид запис решения: