Лекция №15 обратен, обратимост
Лекция № 15
Inverse, обратимост. Да - оператор от в и - в обхвата на неговата дефиниция, и - неговия обхват.
Определение 1. Операторът се нарича обратима, ако за всяко уравнение
Тя има уникално решение.
Ако операторът е обратимо, тогава всеки може да бъде свързан с уникален елемент, който е разтвор на уравнението. Лицето, което извършва тази кореспонденция се нарича обратна на и се означава с.
ТЕОРЕМА 1. обратен линеен оператор, също е линейна.
Доказателство. Очевидно е, че обхватът на стойностите, т.е. домейна на оператора е линейна колектор. Да. Достатъчно е да се провери равенство
Да. Чрез линейност, ние имаме:
По дефиниция на обратен оператора
откъде, умножаване на уравнението от и, съответно, и добавяне, ние получаваме
От друга страна, (3) и определянето на оператора на обратен следва, че
че заедно с предишното уравнение дава уравнение (2). Това доказва теоремата.
обратен оператор Банах е. Това е един много важен теорема в теорията на линейните оператори. имаме нужда от следното за доказване на тази теорема
Лема. Да - плътен набор в пространство Банах. След това всеки ненулев елемент може да се разшири в поредица
Доказателство. Елементи ще изгради последователно избрани така, че
Това е възможно, тъй като гъста инча След това избирате, така че
и така нататък, се подбира така, че
Подобен избор винаги е възможно, тъй като гъста инча Чрез избора на елементите, когато т.е. серията клони към. Ние очакваме в норма.
Banach (обратен оператор). Да - ограничена линеен оператор, 12:59 картографиране на място Банах. Тогава операторът обратния граничи.
Доказателство. В пространството, помислете набор - набор от тези, за които неравенството. Всеки елемент от пространството влиза в определен, т.е.
От теоремата на Баер (вж. P.57), най-малко един от наборите каже твърдо в топка. Във вътрешността на топката ще избере полусфера с център в точката на; слой - набор от точки, за които следното неравенство притежава, къде. Преместването слой, така че центърът стигнал до етапа, ние получаваме сферичен слой
Ние показваме, че в стегнат сет. Нека; след това
Големината не зависи. слагам
, където означава цялата част от номера.
След това от (4), и на факта, че в близост до това следва, че в плътно.
Помислете произволен ненулев елемент. Винаги можете да вземете, така че това е, т.е. , От плътен, може да се изгради последователност, която се доближава до. След това последователността клони към. Очевидно е, че ако и след това, както и за всяка реална. По този начин, плътен и по-тъй.
Разглеждане на ненулев елемент; той се оказа Лема може да се разшири в поредица от елементите на, т.е.
В серията пространство, състояща се от оригиналните елементи, т.е. елементи. Тъй като ние имаме неравенството
серия клони към определен елемент, и където
С оглед на сближаването на поредицата и непрекъснатостта на неговия оператор може да се прилага този термин серия от план, т.е.
къде. В допълнение,
и тъй като тази прогноза се отнася и за всички, тогава операторът е ограничен. Това доказва теоремата.
Определение 2. Нека - Normed пространства. Линейната операторът, от домейн с която представлява линейна колектор, наречен затворен. ако условията
, , от това следва, че.
Лесно е да се покаже, че всеки оператор ограничена е затворен.
Помислете за множеството на всички обвързани линейни оператори за разполагане на Банах пространство на пространство Банах. Този набор от своя страна е Банах пространство в нормата на оператора. Различаваме в него подмножество на операторите картографиране на всички и с ограничена обратна. Този комплект е отворена, т.е. валиден.
Теорема 2. Нека и нека - който и да е оператор на такова, че. Тогава операторът съществува и е оградена, т.е. ,
Доказателство. Ние се определи произволно място и помислете за картографиране определя по формулата
(Моля, имайте предвид, че не е фиксирана, а ние се занимаваме с нелинейна картографиране). От условието, че картографирането изцеден. В действителност,
къде. Тъй като пространството е пълна, има само една фиксирана точка:
Прилагането на оператора и за двете страни на това уравнение, получаваме:
Ако има - също фиксирана точка, така че. По този начин, за всеки уравнение, където уникално решение. Ето защо, операторът има обратна определена на цялото пространство. След това, теорема от Банах върху оператора на обратната е ограничен. Това доказва теоремата.
Теорема 3. Да - Банах пространство - операторът на идентичност, и - ограничена линейна картографиране оператор на това. Тогава операторът има ограничен и е представена като поредица от
Доказателство. Съществуването и ограниченията на оператора следва от Теорема 2. Въпреки това, той също следва от следните съображения.
Тъй като тогава. Пространството е пълна, така че сближаването на серията означава, че сумата от серията е ограничена линеен оператор. За всичко, което имаме:
Минавайки до краен предел и на факта, че ние получаваме
къде. Това доказва теоремата.
Долепени оператори. Помислете за непрекъснат линеен оператор
показваща топологична вектор пространство в топологично вектор пространство. Нека - постоянна линейна функционална определя на (т.е.). Прилагането на функционално елемент, ние очевидно се получи непрекъснат линеен функционален на:
Функционалният елемент има пространство, т.е. , По този начин, ние сме свързан всеки непрекъснат линеен функционална линейна функционална, т.е. ние имаме някои оператор
Този оператор се нарича оператор конюгат.
Обозначаващи стойността на функционален елемент в символ, ние получаваме това, или
Тази връзка може да се приема като дефиницията на оператора на долепени.
Пример 1. конюгат оператор тримерно пространство. Нека реалната тримерното пространство се показва в наш тримерно пространство е линейна оператор, и нека - матрицата на този оператор. Картирането може да се запише като система от уравнения
и функционалност под формата на
получаваме, че. От това следва, че операторът е дадена матрица транспозиция на матрицата на оператора.
Следните свойства на операторите на спрегнати следват непосредствено от определението.
линеен оператор.
.
Ако - един брой, (броят на валиден).
Ако - непрекъснат оператор от това е непрекъснат оператор от до. Това твърдение се оказа в случая, когато и двете - Banach пространства.
Теорема 4. Ако - ограничена линеен оператор картографиране на Банах пространство на пространство Банах,
Доказателство. От свойствата на нормите на оператора и функционални, ние имаме:
Местоположение, т.е. , Да предположим, че освен това, и. Да. Очевидно е, че. Чрез изследване на теоремата на Hahn-Banach, съществува линейна функционална че, т.е. , от отношения
получаваме, че заедно с обратната неравенството доказва теорема.
Долепени оператор в евклидово пространство. Според теоремата на общата форма на линеен функционален в Хилберт пространство картиране който свързва всеки линеен функционална
е изоморфизъм (или конюгат изоморфизъм ако комплекс)
пространство за цялата двойна пространство. След това в известен смисъл (изоморфизъм) можем да идентифицираме и. Това дава възможност, ако не и по-лесно, най-малкото да се промени определението на оператора на прилежаща и въвеждане на концепцията за оператор на самостоятелно долепени.
Определение 3. Да - линеен оператор картографиране на евклидово пространство. Долепени на могат да бъдат определени като оператор, който отговаря за всички
Защото сега операторите и акт на едно и също пространство, колкото е възможно равенство. Маркирайте важен клас от операторите в евклидовата (по-специално, Хилберт) пространство.
4. Определяне на Ограничи линеен оператор в Euclidean пространство, наречена долепени ако, т.е. ако
Обърнете внимание на следната важна собственост на конюгат оператор на оператора.
Дефиниция 5. подпространство на пространството на Евклид е инвариантна по отношение на оператора, ако следва от това.
Твърдение 1. Ако подпространството е инвариантна по отношение на оператора, а след това му ортогонално допълнение е инвариант с уважение.
В действителност, ако, за всичко, което имаме:
По-специално, ако - оператор на самостоятелно долепени, а след това е правоъгълната допълнение към някой от техния главен подпространствения инвариант по отношение на себе си.
Задача 1. Докажете, че ако - ограничена линейни оператори в евклидово пространство, на равенства
,
,
,
, (- единица оператор).
Спектърът на оператора. Противовъзпалително. Навсякъде, където става дума за спектър на оператора, ние вярваме, че операторът действа в комплекс пространство.
Спектър - най-важната концепция, не само в областта на теорията на линейните оператори. Първо си припомним значението на понятието за краен двумерен делото.
Да - триизмерна линеен оператор в комплекс пространство. Броят се нарича собствена стойност, ако уравнението
Тя има ненулева решение. Множеството от всички собствени стойности се нарича спектър на оператора, както и всички други ценности - редовно. С други думи, има редовна точка, ако операторът е обратим. Операторът е определено като цяло и, подобно на всеки друг оператор в краен тримерното пространство е ограничен. Така че, има две възможности в краен тримерното пространство:
Уравнението има nontrivial разтвор, т.е. е собствена стойност; оператора в същото време не съществува.
Налице е ограничена оператор определя на цялото пространство, т.е. е редовен точка.
Но ако - оператор е определена в безкрайно пространство, тогава има и трета възможност.
Оператор съществува, т.е. уравнение има само тривиално решение,, но този оператор не се определя на цялото пространство (и вероятно неограничено).
Представяме следната терминология. Броят ще се нарича редовно за оператора в комплекс Банах пространство, ако операторът
нарича противовъзпалително, дефинирани като цяло (и по този начин ограничава от теоремата Banach на оператора на обратен). Сборът от всички други стойности се нарича спектър на оператора и маркирани.
Spectrum принадлежат всички собствени стойности, като че ли, за някои, то не съществува. Множеството от всички собствени стойности се нарича точка спектър.
Останалата част на спектъра, т.е. комплект от тези, за които тя съществува, но не се определя като цяло, тя се нарича непрекъснат спектър.
По този начин, всяка стойност е за оператора или обикновена или характерна стойност или точка на непрекъснат спектър. Възможността за непрекъснат спектър на оператора - значителна разлика между теорията на операторите в безкрайно тримерно пространство на крайните двумерен делото.
Да - ограничена оператор действа по пространство Банах. Ако точката е редовно, тогава операторът се определя при всички ограничен и когато достатъчно малък, операторът е също дефинирани като цяло и е ограничена (теорема 2), т.е. точка също е редовен. По този начин, редовни точки образуват отворен набор. Следователно, на спектъра, в допълнение към обичайната точка - затворен.
Теорема 5. Ако - ограничена линеен оператор в пространство Банах, а след това - редовно точка.
Ако тази серия клони и определя за всички ограничена оператор. Това доказва теоремата.
С други думи, спектърът на оператора се съдържа в окръжност с радиус центриран в основата на комплекс равнина.
Пример 2. В пространството на непрекъснатост смятат оператора определя по формулата
Очевидно е, че - ограничена линеен оператор, ако
въведено традиционното правило. След това, ако - операторът на идентичност, а след това
Позволете ми да ви напомня, че когато става дума за спектър, противовъзпалително оператор, тогава ние се занимаваме с пространствата над областта на комплексни числа.
Обратимо изобщо, защото на равенството, че непрекъсната функция е идентично равен на нула. Въпреки това, операторът на обратен, определена с формулата
Това не се определя на цялото пространство и неограничен. Така, спектърът на оператора (5) е сегмент върху реалната ос на комплекса равнина, при което собствените стойности отсъстват (го докаже!), Т.е. има само непрекъснат спектър.
Пример 3. разглежда в пространството последователност с вътрешната продукт
оператор определя, както следва:
Този оператор все още няма собствени стойности. В действителност, ако
нещо, което е то произтича от това, че операторът все още няма собствени стойности. Операторът е ограничен, но не се определя на цялото пространство, а от подпространството, т.е. има точка на спектъра на този оператор.
Задача 2. Дали спектър на оператора (6) всички условия, различни от?
Задача 3. резолвент оператор и съответните точки и редовно пътуват с друг и да отговарят на връзката
Докажи го, умножаване двете страни на това уравнение с.