Изчисление на интеграли с помощта на формулите на правоъгълници и трапеци

  • Дидактически цел. За да запознае студентите с методите за приблизително изчисляване на определен интеграл.
  • Образователната цел. Темата на тази сесия е от голямо практическо и образователна стойност. Най-просто идеята за числено интегриране могат да бъдат решени въз основа на дефиницията на определен интеграл като граница на Риман суми. Например, ако вземем всеки достатъчно прецизно разделяне на интервала [а; б] и да се изгради за него неразделна сума, стойността му може да бъде приблизително отчита като стойност на съответния интеграл. Важно е да се извърши бързо и правилно изчисления с помощта на компютърните технологии.

Основни познания и умения. Имате идея на приблизителните методите за изчисляване на определен интеграл на формулите в правоъгълници и трапеци.

Вид дейност. Интегрирана практично.

Мотивацията на когнитивната дейност на студентите. Много често това е необходимо да се изчисли определен интеграл, за които е невъзможно да се намери примитивното. В този случай, се използва приблизителни методи за изчисляване на определен интеграл. Понякога приблизителен метод се използва за ", които се задължават" интеграли, ако изчисленията на Нютон-Лайбниц не е рационално. Идеята за приблизителното изчисление на интеграла е, че кривата е заменена с нова, "близо" достатъчно, за да криви си. В зависимост от избора на нова крива може да се използва или че приблизителната формула на интеграция.

  1. Правоъгълник формула.
  2. Трапецовидни правило.
  3. упражнение решение.
  1. Повторението подкрепа знанията на учениците.

Повторете с учениците: основни формули за интеграция, същността на изследваните методи за интеграция, геометричния смисъл на определен интеграл.

  1. Извършване практическа работа.

Решението на много технически проблеми се свеждат до изчисляването на определени интеграли, точният израз, който, от които е трудно, изисква дълги изчисления и не винаги са оправдани в практиката. Има достатъчно на приблизителните им стойности.

Да предположим, например, че е необходимо да се изчисли зоната, ограничена от уравнение линия на която е неизвестна. В този случай, можете да замените този ред просто уравнение, което е добре известно. Така полученият зона се приема като извит трапец приблизителна стойност от желания интеграл.

Най-простият начин е да се сближат метод правоъгълник. Геометрично идея на метод за изчисляване на определен интеграл на формулата на правоъгълник е, че площта на криволинеен трапец ABCD се заменя със сумата от областите на правоъгълници, едната страна на който е равен, а другият -.

За да обобщим квадратни правоъгълници, които показват извита трапец зона с недостатък [Фигура 1], ние получаваме уравнението:

ние получаваме формулата:

Ако излишък

Стойностите на y0. y1. е намерена от уравнения ин К = 0, 1. п .Тези формула наречен формули правоъгълници и даде приблизителни резултати. С увеличаване н резултат става по-точна.

Така че, да се намери приблизителната стойност на интеграл, ние трябва:

За да намерите грешката на изчисление, е необходимо да се използва формулата:

Пример 1. изчисляват формула правоъгълници. Намерете абсолютна и относителна грешка на изчисления.

Ние разделят интервала [а, Ь] в множество (например, 6) равни части. Тогава = 0, Ь = 3.

За да се изчисли относителната грешка на изчисление, е необходимо да се намери точната стойност на интеграла:

Изчисленията бяха дълги и имаме доста груб закръгляване. За да се изчисли този цялостен подход с по-малко, можете да се възползвате от техническите възможности на компютъра.

За да намерите определен интеграл от правоъгълници да въведете стойността на F на подинтегрален функция (X) в Excel лист х в интервала [2, 5] с предварително определена стъпка х = 0,1.

Сравнявайки получава приблизителната стойност, като действителната стойност на интегралната (39), може да се види, че правоъгълна грешката на метода на приближението в този случай е

= | 39-37 955 | = 1, 045

Пример 2. Използване на метод правоъгълници, изчисли предварително определена стъпка х = 0,05.

Сравнявайки получава приблизителната стойност с истинската стойност на интеграл може да се види, че правоъгълна грешката на метода на приближението в този случай е

метода на трапецовидна обикновено дава по-точна стойност на интегралната метода от правоъгълници. Криволинеен трапец се заменя със сумата от няколко трапеци и приблизителната стойност на определен интеграл е сумата от площите на трапецовидна

Пример 3. Метод трапеци намери нараствания х = 0,1.

Сравнявайки приблизителната стойност на истинската стойност на интеграл може да се види, че методът на правоъгълници приближени грешки в този случай е приемлива практика.

  1. упражнение решение.
  1. Изчислява правоъгълници чрез разделяне на интервала [0, 1] в 20 равни части.
  2. Изчислява по метода на трапеци
  3. Изчислява по метода на трапеци
  4. Изчислява по метода на трапеци
  5. Изчислява разделяне на интервала [0; 4] на 40 равни части.
  6. Изчислява разделяне на интервала [0, 8] на 40 равни части.
  7. Изчислете