Геометрия (7-9)

Имоти и обозначенията на успоредни линии.

1.Aksioma паралелни линии. Чрез този момент можете да прекарате не повече от една линия, успоредна на тази.

2. Ако две прави линии, успоредни на една и съща права линия, а след това те са успоредни един на друг.

3.Dve права, перпендикулярна на същата права линия, успоредна.

4. Ако две линии преминават през третата, след това формира от това вътрешно напречно разположени ъгли са равни; съответните ъгли са равни; едностранни вътрешните ъгли се добавят до 180 градуса.

5. Ако в пресечната точка на двете линии, образувани трети вътрешни напречни разположени на равни ъгли, тогава линии са успоредни.

6. Ако в пресечната точка на двете прави трета форма равни съответните ъгли, тогава линии са успоредни.

7. Ако в пресечната точка на два права трета сума на вътрешните ъгли е едностранни 180 градуса, линиите са успоредни.

Ако от едната страна на ъгъла, за да се забави равни сегменти и чрез техните краища да притежават паралелни линии пресичащи втората страна на ъгъла, а след това отлага като равни сегменти на втората страна на ъгъла.

Теорема на пропорционалните интервали.

Успоредни линии пресичащи се страни на ъгъла, нарязани на дяловото им дължина.

Признаци на равенство на триъгълници.

Ако двете страни и ъгълът между тях от един триъгълник са равни на две страни и ъгъл между тях от друг триъгълник, то триъгълниците са равни.

Ако отстрани и две съседни, за да му ъгъл от един триъгълник са равни на страна и в непосредствена близост до двата ъгъла на другата си триъгълник, то триъгълниците са равни.

Ако трите страни на един триъгълник са равни на трите страни на друг триъгълник, то триъгълниците са равни.

Признаци на равенство на правоъгълен триъгълник.

За две Catete.

Според крака и хипотенузата.

Заедно хипотенузата и остър ъгъл.

На крак и малък ъгъл.

Теоремата на сумата от ъглите на триъгълник и последиците от него.

Размер на триъгълника интериор ъгли равни на 180 градуса.

Външният ъгъл на триъгълника е равна на сумата от два несъседни вътрешни ъгли с него.

Сумата на вътрешните ъгли на изпъкнал многоъгълник е 180 n- (п-2).

Сума външните ъгли n- едностранни полигон е 360 градуса.

Ъглите с взаимно перпендикулярни страни са равни, ако те са както остър или тъп двете.

Ъгълът между ъглополовящи на съседните ъгли е 90 градуса.

На ъглополовящи на ъглите при едностранни вътрешни успоредни линии перпендикулярни и се пресичат.

Основни свойства и характеристики на равнобедрен триъгълник.

Базовите ъгли на равнобедрен триъгълник са равни.

Ако два ъгъла от един триъгълник са равни, то тогава е равнобедрен.

В равностранен триъгълник, медианата, ъглополовящата и височина, проведено на основата на същите.

Ако триъгълника е същото като всяка двойка сегменти от медианата на тройни, разполовяване, надморска височина, а след това е равнобедрен триъгълник.

неравенство триъгълник и неговите последствия.

Сборът от двете страни на триъгълника към трета страна.

Сума единици по-полегат сегмент се присъедини към началото до края на първата връзка на последните.

Срещу по-големи ъгли на триъгълник е голям купон.

Срещу повечето страни на триъгълник е по-голям ъгъл.

Хипотенузата на правоъгълен триъгълник вече крак.

Ако от една точка проведе перпендикулярна на прави и наклонена, на

перпендикулярна кратък наклонените;

по-склонни проекция съответства до голяма и обратно.

Близък линия на триъгълника. Сегмент свързваща средата на страните на триъгълник се нарича средната линия на триъгълника.

Теорема на средната линия на триъгълника. Средната линия на триъгълника е успоредна на страна на триъгълника и е равна на неговата половина.

Теорема на медианите на триъгълника.

Медианите на триъгълника се пресичат в една точка и споделят в съотношение 2: 1, считано от върха.

Ако медианата на триъгълник е равен на половината от страната, към която тя се осъществява, а след това на триъгълника е правоъгълен.

Медиана на правоъгълен триъгълник, проведено от върха на правия ъгъл е равен на половината от хипотенузата.

midperpendiculars собственост на страните на триъгълника. Mid-перпендикулярите към страните на триъгълника се пресичат в една точка, която е в центъра на кръга окръжност около триъгълник.

Теорема на височини на триъгълник. Директни съдържащи височина триъгълник се пресичат в една точка.

Теорема на ъглополовящи на триъгълник. Ъглополовяща на триъгълника се пресичат в една точка, която е в центъра на кръга вписан в триъгълник.

Имотът е триъгълник ъглополовяща. Триъгълник ъглополовящата разделя негова страна на сегменти пропорционално на другите две страни.

Критерии за сходството на триъгълници.

Ако два ъгъла от един триъгълник са равни на два ъгъла от друг триъгълник, то триъгълниците са подобни.

ако двете страни на един триъгълник са пропорционални на две страни на един и ъглите, сключени между тези страни са равни, то триъгълниците са подобни.

Ако трите страни на един триъгълник са пропорционални на трите страни на другия, тогава триъгълниците са подобни.

Площад на подобни триъгълници.

Степента на площ от подобни триъгълници приликата коефициент, равен на квадрата.

Ако два триъгълника имат равни ъгли, а след това им области са като произведения на лица, влизащи в тези ъгли.

В правоъгълен триъгълник

Leg правоъгълен триъгълник хипотенузата е равна на произведението на синуса или косинуса на изложение в непосредствена близост до катета този малък ъгъл.

Етап на правоъгълен триъгълник равна на друг катет, умножена по тангенс от срещуположните или в непосредствена близост до котангенс на катет остър ъгъл.

Leg правоъгълен триъгълник лежи срещу ъгъл от 30 градуса е равна на половината от хипотенузата.

Ако крак правоъгълен триъгълник хипотенузата е равна на половината, на ъгъла срещу катет е 30 градуса.

, където, В- краката и С хипотенузата на правоъгълен триъгълник, R и R - радиус на записани и окръжностите съответно.

Питагоровата теорема и теоремата е обратна на Питагоровата теорема.

Площадът на хипотенузата на правоъгълен триъгълник е равен на сбора от квадратите на другите две страни.

Ако квадратен страна на триъгълника е равна на сумата от квадратите на другите две страни, на триъгълник - правоъгълник.

Средна аспект в правоъгълен триъгълник.

Височината на правоъгълен триъгълник, проведено от върха на правия ъгъл, е средната пропорционална на проекцията на краката на хипотенузата и всеки крак има среден пропорционална на хипотенузата и неговата проекция върху хипотенузата.

Метрични съотношение на триъгълник.

Square страна на триъгълника е равна на сумата от квадратите на другите две страни, без да е двойно продукт от тези страни от косинуса на ъгъла между тях.

Разследването на косинус.

Сумата от квадратите на диагоналите на успоредник е равна на сумата от квадратите на всички тези страни.

Формулата за медианите на триъгълник.

Ако т- средната триъгълник проведено към страничната С, след което m = b-, където а и останалите страни на триъгълника.

Страните на триъгълник са пропорционални на Синеш на противоположните ъгли.

Обобщена задължително теорема.

Съотношението на страни на триъгълника на синуса на ъгъл, равен на лице диаметъра на кръга, описан около триъгълник.

Формула площ на триъгълника.

Площта на триъгълник е равен на половината от основата на продуктите и височината.

на база, h-височина на триъгълника.

2. Площта на триъгълника е равна на половината от продукта от двете си страни с синуса на ъгъла между тях. S =

3. Площта на триъгълника е равна на произведението от неговата semiperimeter радиус на вписан кръг. S = PR.

4. Площта на триъгълника е равна на произведението от трите страни, четворна, разделен на радиуса на окръжност кръг. S =

5. херонова формула: S =, където р semiperimeter, А, В, С-страни на триъгълника.

равностранен триъгълник елементи.

Нека з, S, R, R - височина, площ, радиусите на записани и окръжностите на равностранен триъгълник със страна на. след това

Успоредник наречени четиристранни, срещуположните страни на който са успоредни.

Имоти и обозначенията на успоредник.

Диагонал разделя на две равни успоредник триъгълници.

Противоположните страни на успоредник са равни.

Противоположните ъгли на успоредник са равни.

успоредник диагонали се пресичат и да споделят тяхната пресечна точка на две.

Ако срещуположните страни на четириъгълник са равни, то това успоредник chetyrohugolnik-.

Ако двете противоположни страни на четириъгълник са равни и успоредни, chetyrohugolnik- успоредник.

Ако диагоналите на четириъгълника разделени в точката на пресичане на половина, това chetyrohugolnik- успоредник.

средите собственост на страните на четириъгълника.

Средите на страните на всеки четириъгълник са върховете на успоредник, чиято площ е половината от площта на четириъгълника.

В правоъгълника, се нарича успоредник с прав ъгъл.

Свойства и показания на правоъгълника.

Диагоналите на правоъгълник са равни.

Ако диагоналите на един успоредник са равни, то това успоредник - правоъгълник.

Square правоъгълник се нарича, всички страни са равни.

Rhombus нарича четириъгълник, всички страни са равни.

Свойствата и характеристиките на диамант.

Диагоналите на ромб са перпендикулярни.

Диагоналите на ромб я разделят на два ъгъла.

Ако диагоналите на един успоредник са перпендикулярни, това parallelogramm- диамант.

Акробатика наречен четириъгълник, в които само две противоположни страни (бази) са успоредни. На средната линия на трапеца се нарича сегмент свързваща центъра на неуспоредни страни (страни).

Теорема на средната линия на трапеца. Средната линия, успоредна на основите на трапец и е равна на половината на сбора от тяхната.

Сегмент свързваща средата на трапец диагоналите е semidifference

Забележителна собственост на трапеца. Пресечната точка на диагоналите на трапеца, пресечната точка на разширяване на стените и в средата на основата лежат на една права.

Равнобедрен трапец. Trapeze нарича равнобедрен, ако страните му са равни.

Имоти и обозначенията на равнобедрен трапец. На

Базовите ъглите на равнобедрен трапеци са равни.

Диагоналите на трапец равнобедрен са равни.

Ако от ъглите на трапеца са равни, то тогава е равнобедрен.

Ако диагоналите на трапеца са равни, то тогава е равнобедрен.

Проекцията на страната на равнобедрен трапец е равна на база половин база и проекция diagonalization да половина бази.

Формула площ на четириъгълник.

Площта на успоредник е равна на произведението на основата и височината.

Площта на успоредник е равна на произведението на съседните му страни на синуса на ъгъла между тях.

Районът е продукт на своите два съседни страни. S = аб.

Площта на ромб е равен на половината от произведението на диагоналите му. ,

Площта на трапец е равна на произведението на половин сумата от бази на високо. ,

Площта на четириъгълник е равна на половината от продукта на диагоналите на синуса на ъгъла между тях. ,

формула чапла за четириъгълник, около която кръг може да се опише с: S =, където а, Ь, с, d-страни на този четириъгълник, р semiperimeter, S- област.

Съотношение съответстващ линейни елементи на такива форми, равен на коефициента на сходство.

Съотношение на площ от тези цифри е квадратна мащабиране фактор.

Теорема. Във всеки един правилен многоъгълник кръг може да се впише, а след това само един.

Кръг вписан в правилен многоъгълник засяга страните на многоъгълника в техните средите.

В центъра на кръга е описана около правилен многоъгълник съвпада с центъра на кръг вписан в същия многоъгълник.

Да - от дясната страна на н-гон, площ, периметър P, а и - радиусите на вписаните и окръжности. Тогава; ;

Кръгът е мястото на точки в равнина, отдалечена от дадена точка нарича центъра на кръга на същия положителен разстояние.

Основните свойства на кръга.

Диаметър перпендикулярно на акорд разделя акорд и дъга, свиваща половина.

Диаметър, минаваща през центъра на акорд, който не е с диаметър, перпендикулярна на тази струна.

Перпендикуляра на акорд минава през центъра на кръга.

Равен акорд отстранен от центъра на окръжността на равни разстояния.

Акорд кръг далеч от центъра на равни разстояния са равни.

Кръгът е симетрична по отношение на който и да е от нейния диаметър.

Arc, сключен между паралелни акорди са равни.

От двете акорди над този, който е по-малко отстранения от центъра.

Диаметърът е най-голямата акорд на кръга.

Най-забележителните свойства на кръга.

Мястото на точки М, на която сегмент AB формира под прав ъгъл () е вътрешността на кръг с диаметър AB без точки на сегмента AB.

Мястото на точки, от които се вижда сегмент под определен ъгъл, има две равни дъги от кръг (не всички от тези дъги).

Допирателната към окръжността.

Права линия като кръг с една обща точка, наречена допирателната към окръжността.

Тангенсът перпендикулярна на радиуса, проведен в център за връзка.

Ако линия А, преминаваща през точка на кръга, перпендикулярна на радиуса, извършена в тази точка, линията a- допирателна в кръг.

Ако линии, минаващи през точка М, допирателна към окръжност в точки А и В, МА и MB =

Свързани документи:

др., "Геометрията. 10. линии в пространството. Priznakparallelnosti две линии. Симптом кос линии. относителното положение на двете равнини. Priznakparallelnosti две равнини. Перпендикулярност линия. и неговите свойства. 2. пирамида.

кос линии; svoystvaparallelnyhpryamyh; и определяне parallelnostipryamoy равнина; priznakparallelnostipryamoy и равнина; определи паралелността на две равнини; priznakparallelnosti равнини; svoystvaparallelnyh.

Parallelnostpryamyh и равнини (13 з) Parallelnyepryamye в пространството. Priznakparallelnostipryamyh. Priznakparallelnostipryamoy и самолет. Priznakparallelnosti самолети. Svoystvaparallelnosti. Сънародници AN геометрия в 10 клас.

прави линии в пространството (линии се пресичат, pryamyeparallelny. кръстосват с права) линия и равнина (права линия лежи в равнината на линии и равнини пресичат, прави и успоредни на равнината), за изследване на свойствата и priznakiparallelnostipryamyh.