Генерализирани Фурие серия - studopediya

Математическо описание на спектрална методи на разпадане на сигнала

Безкрайно система на ненулеви реални функции

Той казва, че е ортогонална на интервала [а, б], ако

Това състояние (2.2) експресира система от взаимно ортогонални функции (2.1).

Интервал [а, Ь] се нарича интервал на функции ортогоналност система.

Той нарече нормална функция.

Функция за които условието

Това се нарича нормализиран функция и нормализирана система на функции (2.1), в продължение на две функции, които състоянието на ортогоналност (2.2) се нарича ортонормирана система.

Доказано е, че ако функция е произволна по части непрекъсната функция, за които следното условие:

Тя може да се представи като сума от броя на

Коефициентите на (2.6) се определя по формулата:

По този начин, броят на (2.6), в която коефициентите са дефинирани от (2,7) се нарича генерализирано Фурие серия за системата. Наборът от коефициенти се нарича спектър на сигнала в областта и напълно ортогонална система, определена от този сигнал.

Обобщена Фурие серия има следните важни характеристики: предварително определената система функция и фиксиран брой от гледна точка на серията (2.6), които предоставя най-добре (в смисъл на минималната средна квадратна грешка) на функцията. Това означава, че стандартната грешка, което означава, на стойност

достигне минимална, когато коефициентите на серията

Този факт предполага фундаментална връзка, която е валидна за всяка ортогонална система, която се нарича неравенство на Бесел е:

Ортогонално система е пълна, ако увеличението на броя на мандатите на серията дава възможност да се направи средноквадратичната грешка M (2.8) е произволно малък. пълнота условие може да се изрази като съотношение на:

нарича теорема Parseval му. Когато състоянието (2.10) можем да предположим, че серията (2.6) се съсредоточава в предвид:

От това, обаче, не е, че поредицата клони към по всички стойности на х.

Основният практически интерес е цялостни системи ортонормирани на функции, като непълни системи не позволяват сближаване на разширяването на кв-интегрируеми функции. Но, въпреки това, се използват и някои частични системи. Например, изходното напрежение на идеалната нискочестотен филтър може да бъде точно представена чрез разширяване серия в непълна ортогонална набор от функции