евклидово пространство

Определение. В линейната пространство V е разположен на скаларни продукта от вектори, ако има правило, че всеки две вектори и съвпадащи номер. отговаря на следните четири аксиоми:

От аксиоми следните свойства на скаларна продукта:

Определение. Линейната пространство на която скаларен продукт се нарича Евклидово пространство. п тримерно пространство Euclidean посочено.

Когато в п-тримерното пространство може да се определи скаларна размножаване, т.е. можете да го превърнете в евклидово пространство.

Пример. Space. на която точка продукт на вектори и формула

е евклидовата. Извършване аксиоми очевидна.

От училищния курс ние знаем, че са вектори на равенството:

Тези уравнения показват, при нас като един разумен начин да се определи (п> 3) концепцията за единица вектор и ъгълът между векторите.

Определение. За вектори в единичен вектор и косинус на ъгъла между векторите и се определя от следните формули:

защото , ние трябва да се докаже, че. или.

Това следва от следното неравенство:

Коши - Schwarz: За всеки два вектори и неравенство.

Доказателство. Тръгваме с броя и състава на вектора. След това се обозначи. , , Оттогава дискриминантата на квадратното полином, че , , Смяна на скаларни продукти, ние получаваме. QED.

Доказателство. , Извличане на основата на двете страни на неравенството, ние получаваме

Определение. Вектори нарича ортогонална. ако

Ортогонални вектори за определяне. В случай на ортогонална означава перпендикулярно.

Свойства на ортогонални вектори:

5. ако. теоремата на Питагор

Определение. Вектор ортогонална система на вектори. ако е ортогонален на всеки вектор система.

Теорема. Ако ненулев вектор ортогонална линейно независима система на вектори. системата е линейно независими.

Доказателство. Да приемем, че системата е линейно зависими, т.е.

Тъй - линейно независими система, тогава. Увеличаването (1) на скаларен продукт. Ние се получи. защото , след това. А противоречие, следователно системата на вектори са линейно независими.

Определение. векторна система се нарича ортогонална. ако всички вектори в него са взаимно ортогонални.

Теорема. Всяко ненулева ортогонална система на вектори е линейно независими.

Доказателство. При един система на ортогонални вектори. и където, когато. Да приемем, напротив: има. че равенството. Увеличаването на вътрешния продукт. Ние получаваме. защото , след това. Противоречие.

Ние описваме процеса на преход от линейно независима система на вектори за ортогонална система на вектори.

Определение. Ортогонализирането на вектори се отнася до метод за преход от всяка система за линейно независими вектори на една система на ненулеви ортогонални вектори.

2. Поставете. Ние намираме коефициента, така че.

Всяко Евклидово пространство има ортогонални бази.

Ортонормирана система на вектори

Определение. Ортогонално система от вектори се нарича ортонормален. ако дължината на всеки вектор е равен на единица.

Ако ортогонална система на вектори не съдържа нула вектори, векторната система е ортонормирана.

Във всеки евклидово пространство съществува база ортонормален.