Елементен система вектор трансформация "Linear Algebra

Претенция 3. Елементен система трансформация вектор.

Определение. Следващите трансформации на вектори се наричат ​​елементарни:

1) всяка пермутация на вектори;

2) размножаване на вектора на всяка система за ненулева скаларна;

3) добавяне към всеки вектор система за всяка линейна комбинация на вектори на всяка друга система;

4) отстраняване на нула вектор от системата.

Теорема. Начални преобразувания на вектори не променя своя ранг.

1) Да система от вектори и - нейната максимална линейно независими подсистема, т.е. база линеен участък. Да - всяка пермутация на векторите и системи - произволна максимална линейно независими подсистема. Но тази подсистема ще подсистема на системата, т.е. Той също ще бъде на базата на линейния корпуса. От това следва, че, QED

2) При система от вектори. Умножете, за вектора от скаларна и да получите система. Лесно е да се види, че

от което следва, че.

От друга страна, предполагам. След това,

, което означава, че

Това равенство означава, че, равни на техните измерение

Прилагането на теоремата на ранга на векторна система, ние откриваме, че, QED

3) При един система на вектори. За определеност, нека добавя към първата система вектор произволна линейна комбинация от други разпространители на тази система и получаваме нова система от вектори:

. Както и в предходната алинея, доказателството е лесно да се покаже, че