Еквивалентността на матрици - studopediya

Най-простата форма на линейна матрица оператор.

матрици А и В са еквивалентни, ако има не-единствено матрици Q и Т. че А = QBT.

Теорема 6.1. Ако равностойността на матрица, в техните редици са равни.

Доказателство. Тъй като продуктът не надвишава ранга на редиците на факторите, тогава. Тъй като тогава. Комбинирането на двете неравенства, ние получаваме необходимата твърдение.

Теорема 6.2. Начални трансформации с редове и колони на матрицата може да доведе до блок форма, където - на идентичност матрица за к. и 0 - нула матрицата на подходящи размери.

Доказателство. Тук матрица алгоритъм намаляване на споменатото означава. номера на колоната са посочени в скоби, и цифрите линия - в скоби.

2. Ако преминете към стъпка 4, в противен случай се преминава в етап 3.

3. Да се ​​превърне струни, където = R + 1, ..., m. и с колоните, където J = R + 1, ..., п. и. Увеличете R с 1 и се върнете към стъпка 2.

4. Ако, когато R = + 1, ..., т. J = R + 1, ..., п. В края. В противен случай, ние откриваме, И, Й> R. това. Ние пренаредите редовете и колоните, върнете се към стъпка 2.

Очевидно е, че алгоритъмът ще изгради последователности еквивалентни матрици, последният от които има необходимата форма.

Теорема 6.3. матрици А и В са с еднакъв размер са равностойни единствено и само ако техния ранг, равен.

Доказателство. Ако равностойността на матрица, в техните редици са равни (Теорема 6.1). Нека редиците на матриците са равни. След това не е единствено матрици, че когато R = Rga = RGB (теорема 6.2). Следователно, и матрица А и В - са еквивалентни.

Резултатите от тази позиция Ви дава възможност да се намери най-простата форма на матрицата на линеен оператор и основите на помещенията, в които матрицата на линеен оператор е най-простата форма.