Джон геометрия

Кръгове и кръгове. Цилиндър.

§ 73. Взаимно положение на линии и кръгове.

1. следните три случая на взаимното положение на линия и кръг:

1) Direct има обиколка аудио обща точка (фиг. 317).

2) директно кръга има само една обща точка (фиг. 318).

Права линия с кръг само с една обща точка, наречена допирателната към окръжността.

3) Директна има обиколка на две общи точки (фиг. 319). Тази линия се нарича среза.

2. теореми допирателна към окръжността.

ТЕОРЕМА 1. права линия, перпендикулярна на радиуса на нейната крайна точка на кръга е допирателна към окръжността.

Нека OM радиуса на кръга, SD_ | _OM (функции 318.).

Ние трябва да се докаже, че SD-до кръга.

Доказателство. Ако OM _ | _SD, разстоянието от центъра O до всяка точка на линията CD-голям радиус OM, следователно, всяка точка на компакт-диска линия, с изключение на точка M лежи извън кръга. Следователно, точка M - само общата точка на линия CD и обиколката на, което означава, че SD-допирателна към окръжността.

Теорема 2 (обратна). Допирателната към окръжността, перпендикулярна на радиуса на този кръг се провежда при точката на допиране.

Нека компактдиска линия - до кръга и M - точката на докосване.

Ние трябва да докаже, че CD _ | _ ОМ (функции 318.).

Доказателство. Ако линия CD допирателната към окръжността в точка М, след това всяка друга точка на компактдиска линия ще бъде извън кръга ограничава от този кръг, поради разстоянието от всяка точка на CD централната линия, с изключение на точка М, е по-голяма от OM разстоянието - радиусът на кръга. Така че, това е най-малкият радиус от сегментите, свързващи точка O до точките на компактдиска на линията, така че OM _ | _ CD.

3. собственост на дъги, сключен между допирателната и паралелно акорд.

Теорема. Дъги, сключени между допирателната и акорд успоредна на нея, са равни.

Нека тангента акорд AB и CD са успоредни. Точка Е - допиране точка с линия AB обиколка О (320 Фиг.).

Ние трябва да се докаже, че CE = ED.

За да се докаже точката на допиране E свърже с центъра на кръга.

OE _ | _AV, както и CD || AB, СЧ _ | _ CD, и перпендикулярна на акорд, проведено от центъра на един и същи кръг, тя се разделя, образуваният дъгата на половина.
Следователно, CE = ED.

4. Изграждане на допирателната към окръжността.

Задача. Построяване линия до кръга, в този момент тя.

Dana кръг О, е необходимо да се проведе линия допирателна към окръжността в точка М (фиг. 321).

Равен радиус ОМ и чрез своята крайна точка М чертата KM перпендикулярна на радиуса. Както се оказа по-рано права CM е допирателна към окръжността.