Достатъчни условия за един екстремум - studopediya

Нека диференцируема функция в квартал на два пъти и диференцируема в точката. където точка - точка възможно екстремум на функция, т.е., ... След това, когато вторият разлика е положителен определен (отрицателна определен) квадратна форма на променливи. функцията има локален минимум (максимум). Ако тя е квадратна форма на променливите знак, функцията точка не е локален екстремум.

Да разгледаме случая на две променливи. Нека диференцируема функция в квартал на два пъти и диференцируема в точката. където точка - точка възможно екстремум на функция, т.е., ... Представяме нотация:

След това, въз основа на посочените по-горе критерии и Силвестър регистрация, категоричността на квадратното формата, позната от линейна алгебра, следвайте следните изводи:

1) ако. след точка функцията има локален екстремум, а максималната, минималната и ако, ако;

2) ако. на функцията за точка не е локален екстремум;

3) ако. след това при функция може да има локален екстремум, или не може да го има.

Позовавайки се на определянето на условно екстремум. Да разгледаме функцията при условие, че неговите аргументи са свързани помежду си отношения. Последните условията за присъединяване повикване. Нека координатите на точката, да отговарят на условията за комуникация.

Определение 10.3. Функцията има относителна минимум в точка (максимум), предмет на комуникация. ако е налице квартал на точката. в което стойността е най-малкият (големина) на всички стойности на функцията т. е. неравенството

С други думи, относителната минимум (максимум) - е най-ниската (най-високата) стойността на функцията в точката на никаква връзка с всички точки на една точка квартал. но само за тези от тях, които са свързани помежду си условия за комуникация.

Да вземем два метода за намиране на условните екстремум точки.

1. Метод за елиминиране. Ако ограничение уравнението

да бъде решен по отношение на някои променливи, като например променливите. т. е.

изследване на функцията на условна екстремум под ограничения намалява проучването на нормалните (безусловни) екстремум функционални променливи:

2. Метод съгласно Lagrange. Нека функция

непрекъснато диференцируема в близост до точката, и ранга на матрицата Jacobian

в този момент е равен. функция

наречен Лагранж. параметри, наречени на Лагранж множители. Ние формулираме необходимите и достатъчни условия за съществуването на условен екстремум.

Необходими условия. За да е точка ограничени оптимизация функция за комуникация уравнения. необходимо е, че координатите на някои стойности отговарят на системата уравнения

Достатъчни условия. Нека функция

два пъти непрекъснато диференцируема в съседство с мястото. и нека в този момент, необходимите условия за съществуване на условна функция екстремум в

След това, ако условията

втората разлика на Лагранж е положителен (отрицателно) определена квадратна форма, функцията в точката е условно строг минимум (максимум). Ако вторият разлика е неопределен квадратното форма, а след това на мястото не е ограничен оптимизация.

Ако функцията е непрекъсната по затворен ограничена серия. тя достига то максимални и минимални стойности. Тези стойности могат да го приемат, както на вътрешни точки на снимачната площадка (екстремум точки), както и на нейната граница. Поради това е необходимо специално изследване на граничните точки на снимачната площадка.

Пример 10.1. Изследване на функция в крайност.

Решение. Намираме се стационарните точки на системата уравнения:

Има една фиксирана точка. Нека да видим дали това е крайна точка на точката. Намираме втората производни:

Тъй като. точка е крайност. Тъй като. след точка функцията има локален минимум равен.

Пример 10.2. Изследване на екстремум на функция на три променливи

Решение. Намираме първата поръчка частните производни:

Намираме стационарни пунктове и.

Ние изчисляване на втори ред частични производни:

Ние образува матрицата на второто разлика на функцията:

В момента на основните му непълнолетни лица

положителна. Ето защо, в този момент, функцията има минимум. За да се изследва функцията в точката, не можете да използвате критерия Силвестър, т. За .. На този етап не е екстремум. Всъщност ,. и произволно малък квартал на функцията се положителни и отрицателни стойности. Например, ако. и ако.

Пример 10.3. Намери до екстремум на функцията при условие, по метода на Лагранж множители.

Решение. Форма на функцията на Лагранж

където # 955; - Лагранж множители.

Проверяваме функция в крайност. Ние определяме фиксирана точка, като се използват необходимите условия за екстремум съществуване. Намираме частните производни на функцията и ги равнява на нула:

Следователно, има една фиксирана точка. Проверете дали тази точка е точка екстремум. Ние изчисляваме втората разлика. За това е необходимо да се намери втори ред частични производни на точка:

Тогава разлика на втория ред може да се запише по следния начин:

Тъй като. след това при функцията за момент е условно Михайловски

Пример 10.4. Намерете най-условни крайностите на функции

за връзката на уравнението

Решение. Функции и непрекъснато два пъти диференцируема. В Jacobian матрица в този случай има формата. и неговия ранг е равен на единство във всички точки, които отговарят на уравнението на ограничение. Поради това е възможно да се приложи методът на Лагранж. Пишем на Лагранж:

Според необходимите условия получаваме системата

, от които ние откриваме, че за и

в. Така, функцията може да бъде условно екстремум в само две точки и.

Ние изчисляваме втората разлика на Лагранж. защото

Намираме първата диференциална функция. ,

Точките и диференциали, и са свързани с. Местоположение. Следователно ,. Тогава вторият Лагранж точка на разлика е положително определена квадратна форма

и в точката - отрицателно определена квадратна форма

Следователно, функцията при относителна минимум. и в момента - условно максимум.

Пример 10.5. Намерете най-ниските и най-високите стойности на функцията в затворено региона. като се има предвид системата на неравенството.

Решение. Стационарни точки определят дадена функция в областта на техниката, и изучават поведението на функцията на границата. Намираме частните производни от първата и втората функция ред:

На системата (необходимо условие за екстремум съществуване) определи фиксирана точка:

Фиксирана точка принадлежи към областта и е екстремум (достатъчно условие), т. К.

Въпросът е минимален, тъй като и двете. Ние разследваме поведението на функцията на границата. На Ox ос и функцията най-голямата стойност нула се от най-отдалечените точки т. Е. Когато. Тази точка и (фиг. 19).

Point - минимум точка. За всички увеличава функция, обаче в рамките на областта е необходимо, най-голямата стойност на една точка.

Point - най-ниската точка в района на максималните стойности функция достига точка или точка.

Point - минимум точка. В рамките на най-голямата стойност на функцията отнема точка.

Остава да се изчисли стойността на пиксела. , , ; стойност, изчислена по-горе:

По този начин, чрез сравняване на всички получени стойностите на функцията, изберете най-големият от тях (в момента) и най-малките (в момента) стойности:

Пример 10.6. Намерете най-ниските и най-високите стойности на функцията в Г. дадена система от неравенства

Решение. Област граничи с права и парабола. Първоначално изследваме функцията на екстремум: намерите частните производни и ги приравняваме на нула. Ние определяме фиксирана точка:

Стационарни точка :. Използвайте достатъчни условия за екстремум:

Тъй като. функция екстремум не го прави. Ето защо, тя отнема максимални и минимални стойности в границите на предварително определен район.

Ние разследваме поведението на функцията в границите на областта.

1. Ако. , , -. Минимална точка, това е да се ..

Имаме две критични точки:

На втория достатъчно условие. Ето защо, M1 - минималната точка. Тъй като. М2 - максимална точка. Изчисляваме, че стойностите в тези пунктове:

3. Изчисляване на стойността на функцията на границата точки и

Изберете най-голямата и най-малката стойност на стойностите намерено:

По този начин, най-голямата стойност и най-малката стойност на функцията в предварително определен район се направи

Изследване на екстремум на следните функции на много променливи: