Диференцируемост на функцията на точка и на интервал, разтвор на проблем.

Производното на функцията, в зависимост от математически определение (1.5) и (1.6) - определен лимит. Но, подобно на всеки лимит, той може да бъде:

А) край; б) безкраен; в) не съществува.

Ако за дадена X имат възможност (а), т.е. ако за даден X производно има ограничен. Тази функция се нарича диференцируема в х.

Функцията, която е диференцируема на всеки определен интервал tochkeX Ox (например интервал (А; В) или интервала [А; В]) е диференцируема на този интервал. Между другото, процедурата за изчисляване на производната на самата функция се нарича диференциране (разграничаване функция - това означава да се намери неговите производни).

Геометричната смисъла на функцията производно се определя от (1.11) и Фиг. 4.5, предполага следните две илюстративни необходими и достатъчни условия за дадена функция на диференцируемост в даден момент X:

1) Наличие на допирателната към графиката в точка с абсциса X.

2) не-вертикална тангента на това (защото те не съществуват).

Например, графиката функция е изобразена на фиг. 4.7 не е диференцируема в точки X 1, X 2 и X 3.

Действително, точка X 1 съответства на точката на графиката на М 1 с вертикална тангента. Точка X 2 (максимум функция точка) съответства връх М 2, в която съществува допирателната. Точка X 3, съответстващ на точка М 3 - точка на прекъсване графика на функция, която също е допирателната не съществува.

Във всички останали точки M на графиката на допирателната към графиката, можете да похарчите, и той не е вертикален. Следователно, за всички други от X. (X 1, X 2, X 3), функцията производно. Това означава, че във всички останали точки X диференцируема функция.