диференциални уравнения, които позволяват намаляване на поръчката

Освен общите хомогенни и нехомогенни уравнения от втори ред и по-висок ред с постоянни коефициенти, обикновените студенти често трябва да се справят с други доста голяма класа diffurov: диференциални уравнения допускане на намаляване на ред.

Има три основни типа на тези уравнения, ние постоянно гледам в този урок. На каква база се решават тези уравнения? Стари като втория том на Mata - уравнения признават, за падане, в крайна сметка намалява до първия ред диференциални уравнения и да се интегрират с методите, които трябва да се знаят вече от моите статии.

Хората се събраха опитни, голям, така че ние няма да извършва загряване с хвърляне на гумена топка от ръка на ръка, и веднага се залавяме за работа. Но чайници също могат да се присъединят, аз не експулсира вратата и сложи линкове към теми, в които има пропуски.

Методът на повторно интегриране на дясната ръка

Помислете за диференциално уравнение от вида където - производно "тото" ред, а от дясната страна зависи само от "Х". В най-простия случай може да бъде постоянен.

Това диференциално уравнение се решава въз основа на последователна интеграция дясната страна. И това ще трябва да се интегрира безпроблемно отново.

На практика най-популярните видове е уравнение от втори ред :. Двойна интегрират в дясната страна и да получите най-общо решение. Уравнението на третия ред е необходимо да се интегрират трите, и т.н. Но diffurov четвърти и по-висок ред в практически упражнения е нещо дори не си спомня.

Намерете общото решение на диференциално уравнение

Решение: Това диференциално уравнение е от вида.

За да се намали степента на уравнението на първия ред:

Или накратко: къде - константа

Сега ние се интегрират в дясната страна отново, общото решение:

Проверка на общото решение на това уравнение обикновено е много лесно. В този случай, просто трябва да намерите втората производна:

Получени първоначалната диференциално уравнение, а след това на общото решение е намерен правилен.

За решаване на диференциално уравнение

Това е пример за независими решения. Както вече споменах някъде, понякога може да бъде diffur podshifrovan. В предпочитаното изпълнение първо трябва да намали уравнението на стандартната форма. Решения и отговори в края на урока.

Намирането на конкретно решение (Коши проблем) има своите особености, които ще разгледам в следващите два примера:

Намери конкретно решение на уравнението, съответстваща на дадените начални условия

Решение: Това уравнение има формата. Според алгоритъма, трябва постоянно да се интегрират три пъти от дясната страна.

Първо се намали степента на уравнението на втория ред:

Първият интеграл ни донесе постоянна. Уравненията от този тип ratsionalnosrazu се прилагат и съответните начални условия.

Така че, ние открихме, и, разбира се, към получения уравнението е подходящ първоначално състояние.

В съответствие с първоначалното състояние:

В следващата стъпка вземем втората интегрална и намаляване на степента, в първото уравнение ред:

В съответствие с първоначалното състояние:

И накрая, третият интеграл:

За трети константа използвате последния патрон:

Зайци плачат обвинения бяха сол.

Отговор: Най-специално решение:

Извършване на проверките, в полза, тя nenapryazhnye:
Проверете началните условия:
- изпълнени.

Намираме производната:

Проверете началните условия:
- изпълнени.

Намираме втората производна:

Проверете началните условия:
- изпълнени.

Намираме третата производна:

Получават оригиналната диференциално уравнение

Заключение: работата е свършена дясно

Вероятно всички ние обърнете внимание на следното нещо: това, което е от порядъка на уравнението - толкова много константи. уравнение от втори ред има две константи в уравнението на третия ред - точно три константи в уравнението на четвъртия ред, със сигурност ще бъде точно четири константи и т.н. Нещо повече, това е особено вярно по принцип за всеки diffura високата цел.

Намери конкретно решение на уравнението, съответстваща на дадените начални условия

Това е пример за независими решения. Цялостни решения и отговори в края на урока.

От време на време в диференциални уравнения от този тип трябва да намерим по-трудни интеграли се използва метод за промяна на променливата. интегриране на части. прибягват до други тактики. Нарочно избра един прост пример, без никакви тънкости да обръщат повече внимание на е алгоритъма решения.

Уравнението на диференциално изрично липсва функция

Най-простото уравнение от този тип в общ вид изглежда така:
- всичко е там, и "Y" не е така. По-точно, не е ясно. но тя ще се появи в хода на решение.

В допълнение, заедно с "Y" в изрично форма може да липсва първата производна:
- това е уравнение от трета поръчка.

Може допълнително да отсъства и втората производна:
- уравнението на четвъртия ред.

И така нататък. Мисля, че те видях един модел, а сега ще бъде в състояние да се определи като уравнение в практически примери лесно. Освен това, във всички тези уравнения винаги представят независима променлива "X".

В действителност, има обща формула, строга формулировка, но аз се опитвам да се избегнат ненужни параметри и други математически подувам защото уроци не са теоретични, но практични. И дори обща формула Току-що цитирано не са съвсем пълна от теоретична гледна точка.

Как да решим тези уравнения? Те са решени от една много проста замяна.

Намерете общото решение на диференциално уравнение

Решение: В това уравнение от втори ред не е изрично част променлива. Замяна на първата производна на новата функция, която зависи от "Х":

Проведен подмяната Целта е очевидна - да се намали степента на уравнението:

Получен нехомогенни линейно уравнение от първи ред. с единствената разлика, че вместо обичайната функция "у" имаме функция "Z". Грубо казано, разликата е само в писмото.

Ние решаваме помощен уравнение:

Споделяме променливи и да се интегрират:




Общият разтвор на спомагателната уравнение:

Чрез промяна на константа, правим промяната в нехомогенното уравнение:

Чифт клаузи в лявата ръка е намалена, а след това ние сме на прав път:

Споделяме променливи и да се интегрират:

Така, функцията намерен. Тук, за да отпразнуват, можете да забравите за едно нещо, и автоматично да записва отговора. Не, не всички. Ние помним, че промяната е направена в началото на работата, следователно, е необходимо да се извърши обратната замяна:

Общото решение за възстановяване на интеграция:

Във финалната фаза привлече "Y" партизани, които, както си спомняте, в диференциално уравнение не е изрично включено.

В повечето случаи се провери и тези уравнения не е трудно. Вземете получения отговор, ние откриваме, първа и втора производни:

Заместването на първата и втората производно в първоначалното уравнение:

Получава се истинско равенство, това означава, че цялостното решение е намерен правилен.

За решаване на диференциално уравнение

Това е пример за независими решения. Цялостни решения и отговори в края на урока.

Сега си спомням началото на работата. Чрез заместване на уравнение ние намалена степен на добив нехомогенни линейно уравнение от първи ред. Той винаги се оказва, че е линейно уравнение, чрез замяна? Това се случва често, но не винаги. След смяна уравнение може да се обърне с разделящи се променливи. хомогенна уравнение от първи ред. както и някои други интересни неща.

За решаване на диференциално уравнение

Решение: В това уравнение, третия ред изрично не участват, както и първата производна на функцията. Замяна ще бъде много сходен с "Z" се отнася до по-малкия си брат:

По този начин, уравнението намалена до първия ред:

Начертайте обратната промяна:

Това уравнение е вече е запознат с първата форма секция.

Двойна интегрират в дясната страна:

Намерете общото решение на диференциално уравнение

Това е пример за независими решения. След понижаване на свой ред нехомогенни линейното уравнение на първия ред. което в моята проба решава от Бернули. Както се казва, на целия арсенал да отида.

Уравнението на диференциално
изрично не е независима променлива

Третият, малко по-сложни вид уравнение, което позволява намаляване на поръчката. Нямам намерение да изготви общи формули - отличителна черта на този diffura е, че няма изрично независима променлива "X". Това означава, че няма "Х" в оригиналната диференциално уравнение. По принцип не. Не. Никъде.

Намери конкретно решение на диференциално уравнение, което отговаря на дадени начални условия
, ,

Решение: В това уравнение не е изрично част променлива. Подмяната е по-сложен. Първата производна да замени някои все още неизвестна функция, която зависи от "Y" функция. , Имайте предвид, че функцията - е сложна функция. Външен елемент - "Z", вътрешният функция - "у" ( "Y" сам по себе си е функция).

Като се има предвид, че ние най-накрая получи:

По принцип можете да си спомните тази смяна официално и накратко:

Така че, в оригиналната уравнението ще проведем нашата замяна:

Целта на подмяната - отново, за да се намали от порядъка на уравнението:

Един "Z" незабавно намаляване:

Уравнение с множество променливи. Ако - функция, която зависи от "Y". първата производна на диференциални признаци, както следва:
. Ние не поемаме механично грешки - не се пише "обикновено".

Споделяме променливи и да се интегрират:

Начертайте обратната промяна:

Както и в първия параграф, константа е целесъобразно да стреля веднага, това значително ще улесни по-нататъшната интеграция.

Ние използваме и двете по едно и също време на първоначалните условия :,

Получената уравнение и заместване:

Вторият константа също се стрелят. Използването на първоначалното състояние, извършва смяна:

Ние изрази специално разтвор в изрично форма:

Отговор: Най-специално решение:

Между другото, отговорът е лесно да се провери.

За да се консолидират материалните примери заключителните пара.

Намери конкретно решение на диференциално уравнение, което отговаря на дадени начални условия
, ,

Решение: В това уравнение не е изрично част променлива. И все пак не е първа производна, но това не бива да се бърка - важно е, че няма "Х". и поради това, стандартната подмяната:

По този начин, степента на уравнението се свежда до първия ред:

Сподели променливи и да се интегрират, не забравяйте, че:

Redenote постоянно чрез:
.

Начертайте обратната промяна:

Ние използваме по същото време, както изходните условия, и да намерим стойността на константи. За тази цел, полученият уравнение и замествайки:

Споделяме променливи и да се интегрират:

В съответствие с първоначалното състояние:

Отговор: Най-специално решение:

Намиране на решение на проблема Коши.
, ,

Това е пример за независими решения.

Моля, имайте предвид, че всички три примера са с последния абзац на проблема Коши. Това не е случайно. Спецификата на тип счита диференциални уравнения е, че ако ви предложи да намери общо решение, начертайте сложни, сложни, а понякога дори neberuschimsya интеграли в повечето уравнения. Ето защо, почти винаги ще бъдете подканени да се намери конкретно решение.

Има и някои видове diffurov позволява намаляване на поръчката, но на практика те са Никога не съм срещал, макар че аз променям решението си много диференциални уравнения. Затова урокът включени само тези примери, които действително можете да се срещнете.

И сега е време да се мотае на пистолет за нокти и си отиват да пият чай.

Успешното намаляване на степените на диференциални уравнения!

Решения и отговори:

Пример 2: Разтвор: трансформиране уравнение:
Този контрол е формата. Двойна интегрират в дясната страна:


Отговор: Най-общото решение:

Пример 4: Разтвор: трансформиране уравнение:
Това уравнение има формата. Три пъти се интегрират в дясната страна:

В съответствие с първоначалното състояние:


В съответствие с първоначалното състояние:


В съответствие с първоначалното състояние:

Отговор: Най-специално решение:

Пример 6: Решение: В това уравнение не включва изрично заместване на функция равенство

Получен нехомогенни линейно уравнение от първи ред. Ние използваме метода на вариация на произволни константи. Ние решаваме помощен уравнение:

Споделяме променливи и да се интегрират:

В нехомогенно уравнение да извършим промяната:


По този начин:

Свържи се с подмяна на:

Отговор: Най-общото решение:

Пример 8: Решение: смяна Draw

Ние получава нехомогенна линейно уравнение, заместване:

Състав и решаване на системата:
От първото уравнение намираме:

- заместител на второто уравнение:



По този начин:
Свържи се с подмяна на:

Двойна интегрират в дясната страна:


Ето, аз фалшифицират малко, интеграл от логаритъм е взето на части. и, строго погледнато, последният неразделна необходимостта да рисувам повече.
Отговор: Най-общото решение:

Пример 11: Решение: В това уравнение няма изрична участва променлива, да направите промяната:

Свържи се с подмяна на:

В съответствие с първоначалните условия:


В съответствие с първоначалното състояние:


Отговор: Най-специално решение:

(Към началната страница)

работа Качество без плагиатство - Zaochnik.com