Действителната (реален) броя
4.1. Представяне на реални числа като безкрайни десетични дроби
Всяко реално число може да се представи под формата на безкрайна десетична дроб:
а = 0; 2. 1 А А А п. ;
кой от двата знака, взети от никого, плюс - за положителните числа, отрицателни - за отрицателни числа (знак плюс не е обикновено писмен).
Рационални числа могат да бъдат представени под формата на периодични и ирационално номера - под формата на не-периодични безкрайни десети. Някои рационални числа могат да бъдат представени като краен фракция или, което е същото, под формата на един безкраен фракция с нула в този период. Тези числа позволяват втората представяне - под формата на една безкрайна десетична дроб с номер 9 в период. Например:
1 = 2 = 0; 0. 500 = 0; 5 (0); 1 = 2 = 0; 49999. = 0; 4 (9):
При сравняване на реалните числа ще се използват за тези рационални числа само първата форма на писмено (с нула в периода).
Обикновено сравнението на реални числа
Нека а = 0; 1 ,. ; а п ;. б = б 0; б 1 ,. ; б п ;. - произволни реални числа, представени като безкрайни десетични дроби. числа А и В се казва, че е равна (а = б), ако те имат един и същ знак и равенства: а к = б к. к = 0; 1; 2. В противен случай, се счита, че 6 = б.
При сравняване на неравно числа а и б, считаме три случая:
1) и б - неотрицателни числа. 6 Тъй като А = В, тогава съществува естествено число п или п = 0, така че к = б к. к = 0; 1. ; п 1 и 6, а п = б п. Предполагаме, че> б, ако п> б н. и че
2) - неотрицателна, б - с отрицателна стойност. Предполагаме, че> б;
3) и б - отрицателни числа. Предполагаме, че> б, ако JAJ По дефиниция JAJ = а, ако - неотрицателно цяло число и равна на, ако - отрицателно число. Нека непразно множество набор X са дефинирани операция на добавяне (обозначен с +), размножаването (означен) и сравнението (означен с 6): Това означава, че за всеки две елементи х; Y 2 X тяхната сума х + у и продукта от х у отново са елементите на X, и е известен също и как те се отнасят до съотношение: 6 х, у 6, у или х. Що се отнася до въвеждането на операции, ние ще приемем, че следните аксиоми. I. Аксиоми на допълнение 1. Наличието на неутрален елемент: 9 0 2 8 X X X 2 + х 0 = х. 2. наличието на обратен елемент: 8 х 9 х 2 X X х 0 2 + х 0 = 0. 3. асоциативност на добавяне: 8 х; Y; Z 2 X (х + у) + Z = х + (Y + Z). 4. комутативен допълнение: 8 х; 2 у X х + у = Y + х. Зададената X, който отговаря на условията I 1 -I 3. е споменатата група спрямо допълнение (добавка група). Зададеният X, който отговаря на условията I 1 -I 4. нарича комутативен (Abelian) група в рамките на операцията на допълнение. II. аксиоми на умножение 1. Наличието на неутрален елемент: 9 1 2 8 X X X 2 х 1 = х. 2. наличието на обратен елемент: 8 х 2 х п f0g 9 0 2 X X X X 0 = 1. 3. асоциативност на умножение: 8 х; Y; Z 2 X (х у) Z = х (Ш Щ). 4. commutativity на умножение: 8 х; Y 2 X х Y = Y х. Зададеният X, което отговаря II-II 3. 1 група, наречена операция умножение (мултипликативната групата). Зададената X, отговарящи 1 II -II 4. наречен комутативен (Abelian) група по отношение на умножение. III. Връзката между събиране и умножение 8 х; Y; Z 2 X (х + у) Z = Z х + у Z. Аксиома III се нарича разпределителни или Зададеният X, което отговаря аксиоми I-III, наречена област. IV. Аксиоми поръчка х 6 и Y 6 Ш Щ) х 6 Z. Зададената X, отговарят IV -IV 4. 2 е частично подредени набор. Наборът от X, която отговаря на изискванията IV 1 -IV 4. наречен добре подреден набор. V. Връзката между добавянето и отношението на поръчката Ако х 6 Y, Z 8 тогава X 2) х Z 6 + Y + Z. VI. Връзката между умножение и реда връзка Ако х 6 у, след това 8 Z> 0) х Z 6 Ш Щ. VII. приемственост аксиома Нека A X, В X, A 6 = ;, В = 6; и всички елементи А и 2 б 2 B притежава 6 б. След това е елемент в 2 X, че 6 б 6 С за всеки 2 б 2 А и Б. Зададеният X, което отговаря аксиоми I-VII, и с повече от един елемент, наречен набор от действителните (реални) числа. Тя обикновено е означен с R. Описаната по-горе множество десетични дроби и операции с тях е един възможен модел за множеството на реалните числа. Друг пример за модел на реалните числа е число линия. 4.3. Последици от аксиоми реални числа Читателят ще бъде полезно да се докаже, независимо някои общи последици от аксиоми по-горе. 1. Уникалността на нула. 2. Елементите само по отношение на обратната операция на добавяне. 3. уравнение на + х = б има уникален разтвор х = б а. 4. Уникалността на устройството. 5. (Елементите само по отношение на обратната операция умножение.) За всеки х 2 R, X 6 = 0, има само един елемент по отношение на обратната операция умножение. Обратен елемент по отношение на умножение х ще бъде означен х 1. запис х Y Y означава умножение за обратна на х, т. Е. 1 х ш. 6. За всеки а = 0, уравнение 6 а х = б има уникален разтвор х = а б. 7. За всяко х R 2 х = 0 притежава 0. 8. За всеки 2 х R където (х) - обратна на х, а (1) - 1, обратна на. 9. за всички х (собственост на плътността на набора от реални числа.); Y 2 R (за специфична шест х у) има елемент Z 2R, че х 6 Z 6 години. 10. неравенства х 6 Y, X Y 6 0, Y 6 х, у 6 х 0 еквивалент. Някои цифрови комплекти Реалните числа могат да бъдат представлявани от една точка по ос координира. Поради това, множеството от всички реални числа, наречени реалната линия, както и на самите числа - точки, както и при разглеждането на броя комплекти често използват геометрична интерпретация. Спомнете си, че координира ос се нарича права линия, на която избраната точка, която е произходът, сегмент мащаб и положителна посока. Ние използваме следната нотация и терминология: N - множеството на всички естествени числа; Z - множеството от всички числа; Q - снимачната площадка на рационални числа; R = (1, 1) - набор от реални числа (реално линия); [А; б] - сегмент (сегмент), т.е. множеството на реалните числа х, което отговаря на неравенството .. (А; б) - интервал, т.е., на снимачната площадка на реалните числа х, което отговаря на неравенството в .. [А; б), (а, Ь] - интервал (половината част), т.е. набор от реални числа х, съответно, отговарящи на неравенството на 6 х ..
(1; а), (а, 1) - безкрайни интервали; Сегмент интервал интервал, лъча, и половин номер линия също ще бъде наречена една празнина. Елементи на топологията на недвижими линия "А съседство на х, където"> 0, наречен интервала (х "х +"). Обозначена О "(х). Наборът X R е отворена, ако някой от заданието той влиза заедно с някои "-neighborhood: X 2 8 X 9 "> 0 О '(X) X: А квартал на точка х е всяко отворено множество, съдържащ точка х. Означени О (X). Пробит съседство ( "-neighborhood) от точка X е набор от съседство (" махала) с точка, отдалечена от тях х:4.2. Аксиоматична дефиниция на снимачната площадка на реални числа