Действителната (реален) броя

4.1. Представяне на реални числа като безкрайни десетични дроби

Всяко реално число може да се представи под формата на безкрайна десетична дроб:

а = 0; 2. 1 А А А п. ;

кой от двата знака, взети от никого, плюс - за положителните числа, отрицателни - за отрицателни числа (знак плюс не е обикновено писмен).

Рационални числа могат да бъдат представени под формата на периодични и ирационално номера - под формата на не-периодични безкрайни десети. Някои рационални числа могат да бъдат представени като краен фракция или, което е същото, под формата на един безкраен фракция с нула в този период. Тези числа позволяват втората представяне - под формата на една безкрайна десетична дроб с номер 9 в период. Например:

1 = 2 = 0; 0. 500 = 0; 5 (0); 1 = 2 = 0; 49999. = 0; 4 (9):

При сравняване на реалните числа ще се използват за тези рационални числа само първата форма на писмено (с нула в периода).

Обикновено сравнението на реални числа

Нека а = 0; 1 ,. ; а п ;. б = б 0; б 1 ,. ; б п ;. - произволни реални числа, представени като безкрайни десетични дроби. числа А и В се казва, че е равна (а = б), ако те имат един и същ знак и равенства: а к = б к. к = 0; 1; 2. В противен случай, се счита, че 6 = б.

При сравняване на неравно числа а и б, считаме три случая:

1) и б - неотрицателни числа. 6 Тъй като А = В, тогава съществува естествено число п или п = 0, така че к = б к. к = 0; 1. ; п 1 и 6, а п = б п. Предполагаме, че> б, ако п> б н. и че

2) - неотрицателна, б - с отрицателна стойност. Предполагаме, че> б;

3) и б - отрицателни числа. Предполагаме, че> б, ако JAJ

По дефиниция JAJ = а, ако - неотрицателно цяло число и равна на, ако - отрицателно число.

4.2. Аксиоматична дефиниция на снимачната площадка на реални числа

Нека непразно множество набор X са дефинирани операция на добавяне (обозначен с +), размножаването (означен) и сравнението (означен с 6):

Това означава, че за всеки две елементи х; Y 2 X тяхната сума х + у и продукта от х у отново са елементите на X, и е известен също и как те се отнасят до съотношение: 6 х, у 6, у или х. Що се отнася до въвеждането на операции, ние ще приемем, че следните аксиоми.

I. Аксиоми на допълнение

1. Наличието на неутрален елемент:

9 0 2 8 X X X 2 + х 0 = х.

2. наличието на обратен елемент:

8 х 9 х 2 X X х 0 2 + х 0 = 0.

3. асоциативност на добавяне:

8 х; Y; Z 2 X (х + у) + Z = х + (Y + Z).

4. комутативен допълнение:

8 х; 2 у X х + у = Y + х.

Зададената X, който отговаря на условията I 1 -I 3. е споменатата група спрямо допълнение (добавка група).

Зададеният X, който отговаря на условията I 1 -I 4. нарича комутативен (Abelian) група в рамките на операцията на допълнение.

II. аксиоми на умножение

1. Наличието на неутрален елемент:

9 1 2 8 X X X 2 х 1 = х.

2. наличието на обратен елемент:

8 х 2 х п f0g 9 0 2 X X X X 0 = 1.

3. асоциативност на умножение:

8 х; Y; Z 2 X (х у) Z = х (Ш Щ).

4. commutativity на умножение:

8 х; Y 2 X х Y = Y х.

Зададеният X, което отговаря II-II 3. 1 група, наречена операция умножение (мултипликативната групата).

Зададената X, отговарящи 1 II -II 4. наречен комутативен (Abelian) група по отношение на умножение.

III. Връзката между събиране и умножение

8 х; Y; Z 2 X (х + у) Z = Z х + у Z.

Аксиома III се нарича разпределителни или

Зададеният X, което отговаря аксиоми I-III, наречена област.

IV. Аксиоми поръчка

х 6 и Y 6 Ш Щ) х 6 Z.

Зададената X, отговарят IV -IV 4. 2 е частично подредени набор.

Наборът от X, която отговаря на изискванията IV 1 -IV 4. наречен добре подреден набор.

V. Връзката между добавянето и отношението на поръчката

Ако х 6 Y, Z 8 тогава X 2) х Z 6 + Y + Z.

VI. Връзката между умножение и реда връзка

Ако х 6 у, след това 8 Z> 0) х Z 6 Ш Щ.

VII. приемственост аксиома

Нека A X, В X, A 6 = ;, В = 6; и всички елементи А и 2 б 2 B притежава 6 б. След това е елемент в 2 X, че 6 б 6 С за всеки 2 б 2 А и Б.

Зададеният X, което отговаря аксиоми I-VII, и с повече от един елемент, наречен набор от действителните (реални) числа. Тя обикновено е означен с R.

Описаната по-горе множество десетични дроби и операции с тях е един възможен модел за множеството на реалните числа. Друг пример за модел на реалните числа е число линия.

4.3. Последици от аксиоми реални числа

Читателят ще бъде полезно да се докаже, независимо някои общи последици от аксиоми по-горе.

1. Уникалността на нула.

2. Елементите само по отношение на обратната операция на добавяне.

3. уравнение на + х = б има уникален разтвор х = б а.

4. Уникалността на устройството.

5. (Елементите само по отношение на обратната операция умножение.) За всеки х 2 R, X 6 = 0, има само един елемент по отношение на обратната операция умножение.

Обратен елемент по отношение на умножение х ще бъде означен х 1. запис х Y Y означава умножение за обратна на х, т. Е. 1 х ш.

6. За всеки а = 0, уравнение 6 а х = б има уникален разтвор х = а б.

7. За всяко х R 2 х = 0 притежава 0.

8. За всеки 2 х R

където (х) - обратна на х, а (1) - 1, обратна на.

9. за всички х (собственост на плътността на набора от реални числа.); Y 2 R (за специфична шест х у) има елемент Z 2R, че х 6 Z 6 години.

10. неравенства х 6 Y, X Y 6 0, Y 6 х, у 6 х 0 еквивалент.

Някои цифрови комплекти

Реалните числа могат да бъдат представлявани от една точка по ос координира. Поради това, множеството от всички реални числа, наречени реалната линия, както и на самите числа - точки, както и при разглеждането на броя комплекти често използват геометрична интерпретация. Спомнете си, че координира ос се нарича права линия, на която избраната точка, която е произходът, сегмент мащаб и положителна посока.

Ние използваме следната нотация и терминология:

N - множеството на всички естествени числа; Z - множеството от всички числа;

Q - снимачната площадка на рационални числа;

R = (1, 1) - набор от реални числа (реално линия);

[А; б] - сегмент (сегмент), т.е. множеството на реалните числа х, което отговаря на неравенството ..

(А; б) - интервал, т.е., на снимачната площадка на реалните числа х, което отговаря на неравенството в ..

[А; б), (а, Ь] - интервал (половината част), т.е. набор от реални числа х, съответно, отговарящи на неравенството на 6 х ..

(1; а), (а, 1) - безкрайни интервали;

Сегмент интервал интервал, лъча, и половин номер линия също ще бъде наречена една празнина.

Елементи на топологията на недвижими линия

"А съседство на х, където"> 0, наречен интервала (х "х +"). Обозначена О "(х).

Наборът X R е отворена, ако някой от заданието той влиза заедно с някои "-neighborhood:

X 2 8 X 9 "> 0 О '(X) X:

А квартал на точка х е всяко отворено множество, съдържащ точка х. Означени О (X).

Пробит съседство ( "-neighborhood) от точка X е набор от съседство (" махала) с точка, отдалечена от тях х: