Цикличният групата

Цикличният група - група (G. ⋅). които могат да бъдат генерирани от един елемент. т.е. всички негови елементи са сили на (или да се използва терминология добавка, представени като Na където п -. число). Математически нотация: G = ⟨a⟩.

Въпреки името си, групата не трябва да бъде буквално "цикъл". Тя може да се случи, че всички правомощия на г н> ще бъдат различни. така получената група се нарича безкрайна циклична група и изоморфни числа под допълнение (Z. +). +).>

• Всички циклична група Abelian.
• Всеки краен циклична група е изоморфни с Z п _> - <0. 1. …. n − 1>> С събиране по модул N (това се нарича Z / п Z / п \ mathbb>), а всеки безкраен - изоморфно до Я>. група от цели числа, по допълнение.
  • По-специално, за всяко естествено число п съществува само (до изоморфизъм) циклична група с ред п.
• Всяка подгрупа на циклична група е циклична.
• В циклична група с ред п има точно φ (п) генериране на елементи, където φ - функционални Ойлер
• Ако р - председател. че всяка група за р е цикличен и е уникална до изоморфизъм (това следва от теорема Лагранж).
• Прекият произведение на две циклични групи от наш ред и цикли м единствено и само ако пит сравнително премиер.
  • Например, Z 12 _> изоморфни с Z х Z 3 4 _ \ пъти \ mathbb _>. но не изоморфно до Я 6 × Z 2 _ \ пъти \ mathbb _>.
• Основният теоремата на ограничени рамки генерирани абелева група посочва, че всеки ограничени рамки генерирани абелева група еднозначно разлага в директен продукт на първични циклични групи. Група може да бъде първичен циклична група Z р п _ >>. където р - председател, или Z>.
• Всяко мултипликативна група на крайно поле е цикличен (тя се генерира от областта на най-високо ред).
• endomorphism пръстен на групата Z п _> изоморфни на пръстен Z на п _>. Това изоморфизъм номер R съответства endomorphism Z п _>. който сравнява размера на елемент г на неговите случаи. Такава карта е Биекция. единствено и само ако г е сравнително премиер до п. така че automorphism група Z п _> е изоморфни с Z п х _ ^>.

• Група от корени на единството на степен N по отношение на умножение.
• Група Galois всяко крайно удължаване на крайните областта и ограничен цикличен Обратно, ако се има предвид крайно поле F и краен циклична група G. F. има ограничен разширение на които ще група Galois G.

Одобрение. Всяка подгрупа на циклична група е циклична.

Доказателство. Нека G - циклична група, и Н - подгрупа на G. Ако групата G е тривиално (съставен от един елемент), след H = G и Н е циклична. Ако Н - тривиално подгрупа (състоящ се от един елемент или съвпада с цялата група G), след което Н е циклична. Освен това, в хода на доказателството ние ще приемем, че G и H не е тривиален.

Нека г - генератор на групата G. и п - най-малкото положително число такова, че г п ∈ H \ в Н>. Приемане: Н = ⟨g n⟩ \ rangle>