Алгебрично поле номер
- Най-малката и основен номер областта - областта на рационални числа Q>.
- Gaussian рационални числа, обозначени Q (I), (I)> - Пример nontrivial първо цифрово поле. Неговите елементи - израз на формата
- По-общо, за всяко цяло число г свободни квадратчета Q (г) (>)> е квадратичен разширение поле Q>.
- Rotary поле Q (ζ п) (\ зета _)> се получава чрез добавяне на Q> п тата примитивен корен на единство. Полето съдържа цялата си степен (т.е., всички п-ти корени на единство), неговата величина над Q> е равна на функция Ф е Ойлер (п).
- Реални и комплексни числа са на безкрайна степен над рационалното, така че те не са редица области. Това е следствие от uncountability на: всяко цифрово поле е броим.
Пръстенът на цели числа на поле номер
Тъй като областта на цифровата е алгебрична разширение поле Q>. всеки елемент от него е корен на полином с рационални коефициенти (тоест, алгебрични). Освен това, всеки елемент е коренът на полином с цели коефициенти, защото можете да се размножават всички рационални фактори в произведението на знаменатели. Ако активният елемент е корен на намалена полином с цели коефициенти, тя се нарича неразделна елемент (или алгебрични число). Не всички елементи от областта на цяло число, например, е лесно да се покаже, че само цели елементи Q> - това са обикновени числа.
Ние може да докаже, че сумата и произведението на две алгебрични числа - отново алгебрична целочислени, така цели елементи образуват subring на поле номер К. наречено пръстен на цели числа на К и означен О К> _>. Това поле не съдържа нула и този комплекс се наследява по време на прехода на subring, така че пръстенът на целостта; полето за коефициент на О К> _> - е много областта К. Пръстенът от цели числа от всяка цифрово поле oladaet следните три свойства: тя е интегрално затворен. Noetherian и едномерна. Комутативен пръстен с тези свойства се нарича след Дедекинд Рихард Дедекинд.
Множители на председатели и групови занимание
В произволен Дедекинд пръстен има уникален разлагане на ненулеви идеалите в работата на необичайно. Въпреки това, не просто някакъв пръстен на числа отговарят на факториел на собственост. дори за пръстена на числа квадратичен поле О Q (- 5) = Z [- 5]> _ (>)> = \ mathbb [>]> разлагане не е уникален:
Въвеждане на ринга с това темпо, ние можем да покажем, че тези разширения са наистина различни, тоест, човек не може да бъде получена от друг умножение с обратим елемент.
Специалности нарушения factoriality имоти, оценявани с помощта на идеален клас група. Тази група е за пръстена на целите числа винаги е краен и неговата цел, посочена в броя на паралелките.
Бази цифрово поле
Цялата основа
Цялата основа на редица поле F на наш степен - този набор
п елементи от пръстена на цели числа на Е., така че всеки елемент на пръстена на цялата област F може да бъде еднозначно написан като линейна комбинация от елементи Z Б; тоест, за който и да е х в на има уникален разлагане
къде ми - обикновени числа. В този случай, всеки елемент на F може да се запише като
къде ми - рационални числа. След цялата тази елементи на F са избрани от имота, че именно тези елементи, за които всички ми са цели числа.
Използването на такава istrument като локализация и Frobenius endomorphism. може да се изгради основа за всяко поле номер. Изграждането му е вградена функция на много системи за компютърна алгебра.
база мощност
Нека F - полето за номера степен п. Сред всички възможни бази F (Q като вектор пространство), има мощност основи, т.е. бази Форма
за някои х ∈ F. Съгласно теоремата на примитивен елемент. х винаги съществува, тя се нарича примитивна елемент на разширението.
област алгебрични брой е ограничен двумерен вектор пространство над Q> (означен измерение п), и се умножи по произволен елемент на линейна трансформация на пространството. Нека д 1. д 2. ... д п д _ \ ldots e_> - някои база след F. трансформация х ↦ α х съответства на матрица А = (а Й))>. определя от състоянието
Елементите на матрицата зависят от избора на основа, но не зависят от всички инварианти на матрицата от него, като определящ фактор и следа. В контекста на алгебрични разширения определящ умножение елемент матрица се нарича норма на елемента (означен с N (х)); матрица следа - микроелементи (означен Tr (х)> (х)>).
Нормата е мултипликативна и хомогенна функция:
В основа [⇨] може да бъде избран като изходна база. умножение от алгебрични число (т.е. елемент от числа [⇨]) в основа на това ще съответства на матрица елементи с число. Следователно, пистата и скоростта на всеки елемент на пръстена на числа са цели числа.
Пример за използване на стандарти
Следователно, N (A + B D) = 2 - г б 2>) = а ^ -db ^>. На пръстенни елементи Z на [д] [>]> Този процент е стойност цяло число. Нормата е homomorphism мултипликативна група Z [д] [>]> относно мултипликативна група Z>. обаче скоростта на обратимо елементи може да бъде равно на 1 или само - 1. За решаване Pell уравнение 2 - г б 2 = 1 -db ^ = 1>. е достатъчна за всички обратимо елементи на пръстена на числа (наричани също пръстенни единици) и се прави разлика между тях с нормална един. Според теоремата на Дирихле на единици. всички обратимо елементи на пръстена са един елемент на градуса (до умножаване с - 1), и следователно да се намери всички разтвори Pell достатъчно да се намери един основен разтвор.