Условно очакване - определение на думата

Условно очакване в теорията на вероятностите - е средната стойност на случайна променлива по отношение на условно разпределение.
дефинира
Предполагаме, че дадена вероятност пространство. Да - интегрируеми случайна променлива, че е така. Да предположим също, че - под - алгебра алгебра.
EMA относно алгебра

Случайна променлива се нарича условно очакването за X по отношение на алгебра. • ако измерим с уважение.
•,

където - индикатора на събитие A. Условно очакването посочено.

Пример. Нека настроен. След това - алгебра и. Нека случайна променлива X има формата

след това
EMA относно събитията от семейството

Да - да е семейно събитие. Тогава условно очакването по отношение на X се нарича

където - минималната сигма-алгебра съдържащ.

Пример. Нека предположим, че също така, че с =. След това. Нека случайна променлива X има формата

след това
ULV относително случайна променлива

Нека друга случайна променлива. След това условната очакването на X спрямо Y се нарича

където (Y) - алгебра генериран от случайна променлива Y.
условна вероятност

Да - произволно събитие, и - като показател. След това условната вероятност на В относителна наречен
забележки
• Условно очакване - това е случайна величина, а не брой!
• Условно очакване се определя до нула вероятност събитие. По този начин, ако почти навсякъде, а след това. Идентифициране на случайни величини, които се различават само по събитията от вероятност нула, ние получаваме уникалността на условното очакване.
• Заснемане на =. получи по дефиниция:

и по-специално, формулата на общата вероятност също: • Да алгебра, генерирани от дяловете. след това

По-специално общата вероятност формула се класическа форма:

и следователно
Ключови свойства
• Ако. там е функция Борел. такава, че

Условно очакване на X по отношение на събития по дефиниция, равно • Ако т.к. след т.к.
• Ако X е независимо от. на

По-специално, ако X. Y са независими случайни величини, след това • Ако - две алгебра, така че. на
• Ако X - -measurable и Y - случайна величина, така че. на

допълнителни свойства
• монотонно конвергенция теорема;
• доминиран конвергенция теорема;
• Фату Лема;
• Неравенство на Йенсен.

ОМО за дискретни променливи
Нека Y - дискретна случайна променлива чието разпределение е дадено от функцията за вероятност. След това системата за събитие Това е един дял. и

където означава очаквания взети по отношение на условната вероятност.

Ако случайна променлива X е дискретна,

при което - условната вероятност функция на случайна променлива X по отношение на Y.
ОМО за абсолютно непрекъснати случайни величини
Нека X. Y - случайни променливи, така че векторът е абсолютно непрекъснато, и определя разпределението на плътността на вероятността е X. Y в (х г.). Представяме условна плътност. поставяне по дефиниция

където Y е - случайна променлива Y. След това вероятността плътност

където ч е от формата

По-специално,
ОМО в L2
Помислете за пространството на случайни променливи с краен втори момент L 2. В него са определени скаларно произведение

и са генерирали в норма

Наборът от случайни величини с краен втори момент и измерими роднина. къде. Това е подпространство на L 2. След това операторът. определен от уравнението

е оператор на ортогонална проекция върху. По-конкретно: • Условно очакване - това е най-добрите средата-квадратното сближаване X-измерими случайни променливи:
• Условно очакване запазва скаларна продукта:
• Условно очакване idempotent:

Вижте. Също така
• Условно разпределение.