Теорема (модул на вектор продукт)

Модул вектор продукт на две vektorovimozhet изчислява по формулата където е ъгълът между vektoramii. Ако векторите не са колинеарни, тогава модула на вектор продукт е квадрата на успоредник формира vektorahi.

Доказателство. Ако векторите са колинеарни, тяхното напречно продукт е равна на нула вектор, вектор нула и модула е нула. Тъй като ъгълът между колинеарни вектори е 0 или нещо подобно.

Така формула да се докаже валиден за колинеарни вектори.

Да предположим, че векторите и са колинеарни.

Обозначават посоката уюта на вектора в двете Тъй като по дефиниция е посоката уюта на единичен вектор на компонентите на вектора за тях формула изразена по отношение на векторни компоненти на единичен вектор и уюта посока с формули

По същия начин, означават посоката уюта на вектора като те също имат формулата Освен това, следните уравнения държат за компонентите на

Косинуса на ъгъла между векторите и се изчислява като скаларен продукт между единичен вектор с формула

Ние ще намерите по-долу квадратен модул на вектор на продукта:

От това следва, която завършва доказателството на първата част на теоремата.

Ако векторите не лежат на една права, то те могат да изградят един успоредник. Площта на всеки успоредник се изчислява като произведение от дължината на основата на успоредника в разгара си. В нашия случай, дължината на основата е равна, а височината е равна. Така теоремата е напълно доказана.

Opredelenie.Vektorno-скаларно произведение на три или смесени подредени вектори в реалното пространство се нарича номер открити по правило, където първите два вектори изготвени вектор продукт, който след това се умножава по скаларна трета вектор.

Предвид определението на вектора и скаларна стойност продукт тройна продукт се изчислява по формулата

Ако векторите са копланарни, един от векторите могат да бъдат представени като линейна комбинация от другите два. В този случай, един от редовете на детерминанта на смесения продукт ще бъде линейна комбинация от другите два реда. Както е известно, стойността на детерминанта е нула.

Всички теми на този раздел:

Линейната пространство
Множеството от елементи от всякакво естество или наречен линеен вектор пространство, и нейните елементи

Разположен на числени функции.
Помислете за набор от цифрови функции, определени от някои интервал. Всеки две функции и

Теорема (съществуването и уникалност на различието елементи).
За всички два вектора на линейна пространство, съществува уникален вектор

Теорема (за условията на изчезване продукт на вектор).
До вектор произведението от броя равен на вектора нула, ако и само ако числото е нула или вектор е нулев вектор. брой Dokazatelstvo.Pust

Определящо на матрицата и техните свойства
са въведени детектори само за квадратна матрица като правило, формиращи стойността детерминанта на матричните елементи. Ако елементите на матрицата, определящ фактор ще

Теорема (на разширяването на детерминанта по дължината ред или колона).
Определящ фактор за равен на сумата на продукти от елементи на всеки от своя ред или колона в съответния алгебрични

Доказателство.
Пишем формулата за разширяване на детерминантата на първия ред. Формата на тази формула не е приключила

Теорема (на детерминанта на продукт от две матрици).
В детерминанта на продукта от две матрици е продукт на детерминантите на матриците на фактори. теорема

Системи линейни уравнения
Обща система от линейни алгебрични уравнения

Теорема (съществуването и уникалността на инверсната матрица).
Всяка квадратна матрица има уникален обратен матрица изчислява по формулата. тогава и само тогава, на КПГ

Доказателство.
Нека да докажем, че състояние. Това е достатъчно условие за съществуването на инверсната матрица. до дома

теорема на Креймър.
Ако системата от уравнения в квадратна матрица детерминантата на коефициентите не е равна на нула, системата има уникален разтвор, който е или формула матрица sposobompo

Доказателство.
В съответствие с теоремата за съществуването и уникалността на обратна матрица за не-единствено матрицата коефициенти нашата система има уникален обратна матрица

Теорема (на линейни вектори координира свойства).
В допълнение всеки два вектори на основа координати в капака и чрез умножаване на всеки вектор от произволен брой координати се умножават по този номер. доказателства

Доказателство.
По дефиниция основа означава, че всеки ред или колона на матрицата може да бъде представена като линейна комбинация на база ред или основа колона, където уникален начин. Всички па

Доказателство.
Ще покажем, достатъчността на второто разследване. Когато редовете на матрицата са линейно зависими, след зависими вектори система имот един от редовете е линейна комбинация от останалите

Теорема (за привеждане на стъпка матрица).
Всяка матрица може да доведе до етапа на матрица чрез провеждане на краен брой елементарни трансформации. Ние доказваме теоремата чрез търсене структурно краен брой възможни

Теорема (матрица ранг скорост).
Място поетапно матрица е равен на броя на нейните ненулеви редове. Dokazatelstvo.Nenulevye, шахматно редове са линейно независими, които могат да бъдат показани като линеен гребен

Теорема (на еквивалентни преходи).
Всеки краен брой елементарни преобразувания на системата да го превърне в една система, която е еквивалентна на изходната система. Доказателството следва директно от оп

Доказателство.
Рангът на матрицата на коефициентите по дефиниция винаги по-малка или равна на броя на уравнения и броя на неизвестни лит

Изследване и разтвор на хомогенни системи уравнения.
Хомогенна система винаги е в съответствие, тъй като тя има (тривиално) разтвор на нула

Доказателство.
Neobhodimost.Pust е ограничено пространство с размерност

Теорема (от формата на общото решение на нехомогенни системата от уравнения).
Решение на нехомогенни системата уравнения винаги може да се представи като сума от общото решение на съответното

Vector алгебра
Под вектор алгебра обикновено се разбира раздел линейната алгебра изучаване геометрични вектори в равнината и реално пространство. В математиката и нейните приложения отговарят на декември

Евклидово пространство.
Opredelenie.Skalyarnym продукт на всеки две вектори на линеен пространство се нарича правило, че всяка подредени двойка вектори

Доказателство.
Нека има ортогонална система от ненулеви вектори в евклидово пространство. Да приемем, че г-н

Теорема (основни свойства ортонормирани основа).
1. координатите на произволен вектор в ортонормирана база са скаларни продукти на вектора, съответстващ на векторите на тази основа. 2. скаларен продукт на две

Определение.
Canonical основа на триизмерна геометрия в пространството на вектори нарича вектор

Linear геометрия.
Opredelenie.Pust има някакъв ненулев вектор, и