Размножаване на едночлени и полиноми, математика

Ако цифрите са обозначени с различни букви, можете да посочвате само на продукта; Да предположим, например. необходим брой пъти на броя на б, - ние можем да посочи този или ∙ б или аб, но това не може да бъде изключено по някакъв начин да извършите това умножение. Въпреки това, когато се работи с едночлени, след, благодарение 1) присъствието на фактори и 2) на факта, че съставът на тези едночлени може да включва множители, обозначени със същите букви, е способността да се говори за изпълнение на размножаването на едночлени; разширена възможност, когато полиноми. Нека разгледаме редица случаи, когато това е възможно да се извърши умножение, като се започне с най-простите.

1. умножение градуса с идентични бази. Да предположим, например. Тя изисква 3 ∙ на 5. Пишем, знаейки смисъла на степенуване, същите данни:

а ∙ ∙ на един ∙ ∙ на един ∙ ∙ на един ∙ а

Като се има предвид тази подробна сметка, ние виждаме, че сме написали коефициент 8 пъти, или, накратко, 8. По този начин, на 3 ∙ 5 = 8.

Да предположим, че искате да б 42 ∙ б 28. Ще трябва да напишете първия множител б 42 пъти, след това 28 пъти множител б отново - като цяло, ще се получи, че б е взета 70 пъти множител. т. е. б 70. По този начин, б 42 28 ∙ б = б 70. От това е ясно, че когато се умножи сили със същите основи на основата остава до голяма степен без промяна, и се добавят експоненти. Ако имаме 8 ∙ а, ще трябва да се има предвид, че е фактор подразбира експонат 1 ( «по-в първата степен") - и, следователно, на 8 ∙ а = 9.

Примери: х ∙ х 3 ∙ х 5 = х 9; а 11 22 ∙ на ∙ 33 = 66; 05 март 06 Март ∙ ∙ = 3 декември 3; (А + В) 3 ∙ (А + В) 4 = (А + В) 7; (3x - 1) 4 ∙ (3x - 1) = (3x - 1) 5, и др ...

Понякога трябва да се справят с градуса, цифри, които са обозначени с букви, например. Xn (х към захранващия N). С тези изрази трябва да свикне да се справя. Ето някои примери:

Обясни някои от тези примери: милиарда - 3 ∙ б 5 б база трябва да остави без промяна, и показатели сгънати, т.е., (п - 3) + (+5) = N - 3 + 5 = N + 2. Разбира се, .. като допълнение трябва да се научите да правите бързо на ум.

Друг пример: х п + 2 ∙ х п - 2 - база х трябва да се остави без промяна, и скоростта на сгънати, т.е., (п + 2) + (п - 2) = N + 2 + п - 2 = 2n ...

Може да се намери по-горе процедура за това как да се извърши умножение на властите със същите бази, сега изразяват уравнението:

М ∙ с п = М + п

2. Умножете мономен от мономен. Да предположим, например. изисква 3a²b³c ∙ 4ab²d². Виждаме, че тук означава, точка, едно размножаването, но ние знаем, че същата умножение знак, че между 3 и ², между ² и b³, между b³ и с, между 4 и, между и b², между b² и в. Така че ние може да видите тук продукта от 8 фактори и може да ги умножи по всяка група в произволен ред. ги Пренареждане така че съотношения и степен с еднакви бази са близки, т.е.. E.

3 ∙ 4 ∙ ² ∙ на ∙ b² b³ ∙ ∙ в ∙ в.

След това можем да умножите 1) съотношения, и 2) степента на същата основа, и да получите 12a³b5cd².

Така че, в размножаването на мономен от мономен, ние може да се размножава на коефициентите и степента на същата основа, както и другите фактори трябва да се пренапише непроменен.

3. Умножение на полином от мономен. Нека първо място е необходимо на всеки полином, например. а - б - в + г се умножава с положително цяло число, напр. 3. Тъй като положителни числа се считат съвпада с аритметика, това е същото като (а - б - в + г) ∙ 3, т.е. - .. Б - С + D вземат 3 пъти summand или

(А - б - в + г) ∙ (3) = а - б - в + г + а - б - в + г + а - б - в + г = 3а - 3b - 3в + 3d,

т. е. като резултат има всеки термин на полином се умножава по три (или 3).

(А - б - в + г) ÷ (3) = а - б - в + г,

т. е. са всеки термин на полином разделена на (3). Също така, по-общо, получаваме:

Да предположим, че сега е необходимо да (а - б - C + D), умножена по положителен фракция, напр. до +. Това е като че умножено по средната аритметична малка част от това, какво означава да вземе участие в (а - б - в + г). Вземете една пета от този полином е лесно: необходимо е да се (а - б - в + г) разделете на 5, а това е в състояние да направи - да. Остава да се повтори резултата умножен по 3 пъти или 3, г. F.

В резултат на това ние виждаме, че всяка дума на полинома трябва да бъде умножена по, или +.

Да предположим, че сега е необходимо да (а - б - C + D), умножена по отрицателно число, число или фракционна,

. Т.е., в този случай, ние имахме всеки термин на полинома се умножава с. -.

По този начин, независимо от броя на т, винаги (а - б - в + г) ∙ m = съм - BM - cm + дм.

Тъй като всеки мономен представлява номер, тук виждаме индикация за това как да се размножават полином от мономен - необходимо е да се размножават всеки термин на полинома на мономен.

4. Умножете полином с полином. Нека е необходимо да (А + В + С) ∙ (D + Е). Тъй като г и д представлява номера, и (D + Е) експресира една редица.

(A + B + C) ∙ (D + Е) = а (D + Е) + б (D + Е) + в (D + Е)

(Можем да го обясня по този начин: ние можем д + временно поема мономен).

Освен това, чрез извършване на редица получава чрез умножаване (а мономен от полином), получаваме:

= Ad + ае + BD + бъде + CD + вд

Този резултат може да се променя по реда на условията.

(A + B + C) ∙ (D + Е) = реклама + BD + изд + ае + + бъде CE,

т. е. да се размножават полином от полином има всеки член на полином, умножена по всеки член на другата. Удобно (това е по-горе модифицирана процедура, получен членове) размножават всеки термин на първия полином първо на първия елемент на втория (в + г), след това вторият член на втората (на + д), след това, ако е на третия и т.н. . г. След това трябва да се направи, за да се въвеждат тези членове.

В тези примери, на биномно умножена по биномно; във всеки два мандата член подредени в низходящите степени на писма, общи за двете binomials. Такава умножение лесно се носи в съзнанието си и веднага пишете на крайния резултат.

.. като се умножи старши член на първия Нютонов да високопоставен член на втория, т.е. 4x² 3 пъти, да 12x³ високопоставен член на строителните работи - като него, очевидно, няма да бъде. Освен това, ние търсим, като се умножи какво членове ще получат членове с по-малко от 1 градус на буквите х, т. Е. С x². Лесно е да се види, че тези условия са получени чрез умножаване на втория елемент на първия фактор на първия план на втория и умножаване на първия елемент на първия фактор на втори от втория елемент (скоби в долната част на примера е показан). Изпълнявайте тези умножения в ума и се представят добре като привеждане на две, като условията (след което се член -19x²) - бизнес лесно. След това забелязваме, че следващия мандат с буквата х на степен с 1 по-малко. Е. Х в първа степен, получи само чрез умножаване вторият член на втория, и други подобни няма да бъде.

Друг пример: (Х + 3x) (2х - 7) = 2x³ - Х - 21x.

Също така в ума лесно да изпълняват примери като следното:

Старши термин се получава чрез умножаване на старши член на висши членове на неговите хора няма да бъде и той = 2a³. След това вид, не умножения са получени от членове с ² - чрез умножаване на първия елемент (²) на втория (5) и чрез умножаване на втория елемент (-3 а) на първата (2а) - е показана в долната част на скоби; изпълнението на тези множат и свързващи елементи, получени едно, вземи -11a². След това търси от някои умножения се получават с член от първа степен - размножаването маркирани топ скоби. изпълнението им и свързващи елементи, получени едно, получаваме + 11а. Накрая, ние се отбележи, че по-малкия елемент на продукта (10), не съдържащ се получава чрез умножаване на ниската Терминът (-2) полином от един млад елемент (5) на другия.

Друг пример: (4а 3 + 3а 2 - 2а) ∙ (3a 2 - 5а) = 12а 5 - 11а 4 - 21а + 10а 2 3.

От всички предишните примери получаваме общият резултат: висш член на продукта, получен чрез умножаване винаги висши членове на множители, и други подобни членове, които не могат да бъдат; като младши член на продукт, получен чрез умножаване по-младите членове на факторите, и други подобни членове също не може да бъде.

Други членове, получени чрез умножаване на полином с полином, могат да бъдат подобни на, и дори може да се случи, че всички тези членове са взаимно унищожени, и там да останат само малки и големи.

(² + AB + b²) (аб) = ³ + a²b + ab² - a²b - ab² - b³ = ³ - b³
(² - AB + b²) (аб) = ³ - a²b + ab² + a²b - ab² + b³ = ³ + b³
(³ + a²b + ab² + b³) (а - Ь) = 4 - б 4 (напиши само резултат)
(X 4 - Х + Х - х + 1) (х + 1) = х 5 + 1 и т н ..

Тези резултати са забележителни и полезни за запомняне.

Особено важно е следният случай на умножение:

(А + В) (аб) = ² + аб - аб - b² = ² - b²
или (х + у) (XY) = Х + XY - XY - y² = Х - y²
или (х + 3) (х - 3) = Х + 3x - 3x - 9 = Х - 9 и др ...

Във всички тези примери, които се прилагат за аритметиката, имаме продукт на сумата от двата номера на тяхната разлика и резултатът е разликата от квадратите на тези номера.

Ако видим подобен случай, че не е необходимо да се извърши умножение в подробности, тъй като е било направено по-горе, и веднага можете да запишете резултата.

Напр. (3a + 1) ∙ (3а - 1). Тук, първият множител с аритметична гледна точка, е сумата на две числа: първото число е 1 3а и на втория, а вторият фактор е разликата между едни и същи числа; защото в резултат трябва да има: първи квадрат (.. т.е. 3а ∙ 3a = 9a²) минус квадрата на второто число (1 ∙ 1 = 1), т.е. ..

(3a + 1) ∙ (3а - 1) = 9a² - 1.

(Ab - 5) ∙ (AB + 5) = a²b² - 25, и др ..

(А + В) (а - Ь) = ² - b²

т. е. продукт от сумата на двете числа на тяхната разлика е равна на разликата от квадратите на тези номера.