Размерът на линейното адресно пространство - studopediya
Opredelenie.Uporyadochennoe много vektorovobrazuet основа на пространството, ако:
1) vektorylineyno независим,
2) вектор пространство е линейно изразена по отношение на вектори.
Равенството нарича вектор разлагане в базата. Коефициентите се наричат координатите на вектора в базата.
Teorema.Pust- основа на пространството. След това за всеки вектор на експанзия в само основа.
Доказателство. Да. след това
Но векторите са линейно независими, така че за всички. Това доказва теоремата.
Пример. аритметика линейни пространство вектори R п система
е основа, защото тези вектори са линейно независими, всеки вектор експресира линейно през тях :.
Тази база не е само един.
Задача. Докажете, че множеството от вектори
също е основа.
Opredelenie.Lineynoe тримерно пространство се нарича, ако съществува основание на вектори. Линейната пространство се нарича безкрайна ако съществува произволен брой линейно независими вектори.
Очевидно е, че в п-тримерното пространство, всяка система от вектори е линейно зависим.
Нека си припомним някои примери за линейни пространства.
2). Космосът е безкраен последователности. За да покажете това, нека разгледаме безкраен брой елементи на пространството N:
Всеки краен набор от вектори са линейно независими.
5.5. Място система вектор. Да - някои от тях, може би безкраен, набор от вектори на линеен пространство. Набор от вектори се казва, че максимална линейно независима система. Ако тези вектори са линейно независими, и всеки друг вектор добавяне на множество линейно зависим прави системата. Ако X е линейно пространство, максималната линейно независима система на вектори е основа.
Да - максимална линейно независима система в и нека - вектор, различен от вектора. След векторите са линейно зависими :. Имайте предвид, че са по друг начин линейно зависими вектори. Тук. Ние открихме, че ако - максимална линейно независима система, а след това всеки вектор може да се изрази линейно по отношение на тези вектори. (Ако векторната система е един от векторите, е очевидно, изразена по отношение на вектори на системата.)
Lemma.Pusti - два вектора система и vektorylineyno независими. Ако vektorylineyno изразено от тогава.
Доказателство. Да приемем, напротив, нека>. В момента има:
Помислете за една линия, съставена от фактори:
Тези линии могат да бъдат считани пространство елементи R R. Тъй>, тези редове са линейно зависими, т.е. там. не всички нула, така че
В противен случай, за. но след това
че е линейна зависимост на векторите. Това означава.
Sledstvie.Esli и - две максимална линейно независима система, а след това.
В действителност, тъй като векторите са линейни комбинации. след това. Но също така изрази линейно чрез тогава. Тук.
Opredelenie.Rangom векторна система е броят на вектори в максимална линейно независима система.
Според лема просто се оказа, ранг на системата не зависи от избора на максимална линейно независима система.