Отдясно и отляво три вектори

Определение. Три не-копланарни вектор, взети в този ред и свързан в една точка, наречена тройни вектори а. б. в.

Ние разглеждаме края на вектор C върху равнината, определена от вектори А и В. Ако най-късата обрат от вектор за вектор б е обратна на часовниковата стрелка, след това тройката на вектори на. б. в се нарича право, ако се получи, каза въртене в посока на часовниковата стрелка, а тройката. б. в се нарича ляво. Всички надясно (или ляво), векторни тройки, се наричат ​​по същия начин ориентирани. Ако тройна е прав, а другият - наляво, те се наричат ​​тризнаци с различни ориентации. Ако даден три не-копланарни векторите на. б и в. те образуват 6 тройни: а. б. С; б. С; а; в. а. б имаща една ориентация (кръгови пермутация вектори), и б. а. С; а. в. б; в. б. има различна ориентация (пермутация на двата вектора).

Определение. Декартова координатна система, наречена правото, ако трикратната базисни вектори аз. к. к се нарича наляво и надясно, ако триото си тръгна. В това, което следва, ние считаме, само на дясна ръка координатна система.

Vector продукт

Определение. вектор продукт на вектор във вектор се нарича трета вектор б [а. б], което отговаря на следните условия:

• 1) | [а. б] | = | а | | B | грях φ, където φ - ъгълът между вектори А и В;
• 2) векторът [а. Ь] е перпендикулярна на всеки от вектори А и В;
• 3) тройката (а. Б. [А. В]) е дясна ръка.

Vector продукт също се обозначи × б.

Условие 1) определяне, че

където S - площ на успоредник, образуван от вектори А и В. след това

където Е - единица вектор по посока на вектора [а. Ь].

Необходимо и достатъчно условие за колинеарност на два вектора. Вектори а и б лежат на една права, ако и само ако, когато

Доказателство. # 9633; Ако вектор А и В са колинеарни, след това ф = 0 или ф = π, след грях φ = 0, и следователно, | [а. Ь] | = 0, което означава, [а. Ь] = О.

Обратно, ако уравнение [а. Ь] = 0 и ≠ 0, Ь ≠ 0, тогава ф = 0 или ф = π следователно вектор А и В са колинеарни. # 9632;

Свойства на вектор продукт

Забележка. Тази формула може да бъде изразена по отношение на символичната определящ фактор за третия ред:

Следствие. Площта на успоредник, образуван от вектори А и В. Тя се изчислява по формулата

Следствие. Площта на триъгълник ABC се определя от формулата:

Смесеният продукт на вектори

Помислете три вектора а. б. в. Векторът се размножават вектор за б. тогава вектор продукт [а. Ь] скаларна размножават в. Резултатът е номер, който се нарича смесен продукт [а. Ь] в три вектори а. б. в.

Теорема [геометричен смисъл на смесения продукт]. Смесеният продукт [а. Ь] в три не-копланарни вектори, равен на обема на паралелепипед, образувани от векторите ,, взети със знака плюс, ако тройна (а б в ..) - отдясно, със знак минус, ако тази тройна - отляво.

Доказателство. # 9633; Разглеждане на успоредник, образуван от векторите, лежащи в основата на споменатата кутия. Площта му е S = | [а, б] |, тогава можем да пишем [а. Ь] = Se. следователно, [а. Ь] в = (SE) C = S (ЕК). Нека намерим ЕО = | д | Prec = Prec. От друга страна Prec = ± часа. където H - височина на кутията, спадна до базовата OADB. Знакът плюс се получава чрез (а б в ..) - с дясната ръка, знак минус, ако това трио наляво. след това

Следствие. Вектори а. б. С лежат в една равнина, ако и само ако техните смесен продукт е равна на нула, т.е.

Следствие. равнопоставеността

Забележка 1. Като следствие от това е вярно, тогава смесения продукт престои абв.

Забележка 2. За основните елементи на. б. С имат

Теорема. Смесеният продукт на три вектори

- Това разширяване на детерминанта на третия ред на елементите на третия ред. # 9632;

Следствие [необходимо и достатъчно условие за една равнина на три вектори]. Три от вектор. б. С лежат в една равнина, ако и само ако отговаря