Обикновени диференциални уравнения
Системата на обикновени диференциални уравнения се нарича автономно. Ако независимата променлива не се появи изрично в системата.
Теорията на автономни системи за обозначаване на независимата променлива с буквата Т, и желаният разтвор -.
Само при п = 2 и по-нататъшно разглеждане от втори ред самостоятелна система:
Предполагаме, че дясната страна на f1 на системата (x1. X2). f2 (х1. х2) са непрекъснато диференцируема в областта, т.е. теорема за съществуване и уникалност. Името на автономна система е обосновано от факта, че самото решение управлява своята промяна, тъй като производни DX1 / DT и dx2 / DT зависи само от x1 и x2. Автономни системи се наричат още динамични системи.
Нека Х1 = J1 (т), Х2 = J2 (Т) - разтвор на втори ред автономна система. След това уравнение
се намира в параметри формата на кривата в равнината. Тази крива се нарича кривата фаза и траекторията фаза на системата. Самолетът, на която траекториите фаза се нарича автономна система фаза самолет. За п> 2 траекториите фаза са във фаза пространство.
Когато в няколко фазна система криви, характеризиращи качествено поведението на решения (с равни криви асимптоти гранични пункта и така нататък.) Е показано на фигурата, изображението се нарича фаза портрет на системата.
На интегрални криви на системата, изобразена в триизмерното пространство на променливите (т x1 x2 ..) и, ако x1 = f1 (Т), Х2 = f2 (Т) - система разтвор, интегрираната крива се определя в параметрична форма на уравненията
фаза траектория - не просто проекцията на неразделна кривата на фаза равнина (равнина (х1 х2) ..
Пример 1 Фаза криви автономна система.
За кривите на фаза (фаза) траектория автономна система с непрекъснато диференцируема дясната част, ,
Следните твърдения са верни:
- Ако има точка, че това е решение на автономна система, т.е. съответната фаза крива - точка.
- Ако точката (х1 (т), x2 (т)) принадлежи към крива фаза, константата С във всяка точка (х1 (т + C), x2 (т + C)) е в същата фаза крива.
- две фаза Кривите на или са несвързани или идентични.
- траекторията на фаза, различна от точката, гладка крива (във всеки от неговите точки вектор допирателна не е нула).
- Всяка крива фаза принадлежи към една от трите tipov- гладка крива без самостоятелно гладка затворена крива (контур) точка.
- Ако кривата фаза, съответстваща на разтвора, има гладка затворена крива, след това този разтвор - периодична функция.
Пример криви 2. Видове фаза.
Точката, в която дясната част на системата е нула, се нарича равновесна позиция на системата. Позицията на равновесие се нарича още на мястото на почивка автономна система.
ПРИМЕР 3 почивка посочва автономна система.
Ако в даден момент площта е настроен н тримерно вектор
, , ние казваме, че в областта на G дадена област вектор. Пишем втория ред автономна система
във вектор форма:
където
,
автономна система
напълно определя от полето на вектора
.
Наистина, във всяка точка
гладка крива фаза
има вектор допирателна
(X '(t0), Y "(t0))
равно (поради системата) вектор
,
С други думи, област вектор
автономна система определя във всяка посока по допирателна към кривата фаза система, минаваща през тази точка.
Точка на поле вектор, в който вектор - нула, наречено неповторимо място на полето вектор. По този начин, автономна точката на система за почивка - конкретна точка на полето на вектора.
Пример 4. автономна система вектор област.