Необходими и достатъчни условия за съществуването на обратния оператор

Лекция 5. обратно към оператора и обратна матрица

5.1. Определение. Връзката за съществуването на левите и десните оператори обратните в краен тримерно пространство.

5.2. Необходими и достатъчни условия за съществуването на оператора на обратен.

5.3. инверсната матрица.

5.4. Теоремата на обратна продукт оператор на операторите, операторът работи по редица. Теорема на обратимостта на оператора, като основа на базата.

5.5. Матрицата за трансформация на оператора по време на прехода към нова основа.

5.6. Трансформация вектор координати за промяна на основа.

5.1. Определение. Връзката на съществуването на лявата и дясната обратна
оператори в краен пространство.

Да - линейно пространство и - линеен оператор в нея.

Определение. А линеен оператор се нарича ляв обратен. ако отговаря.

А линеен оператор се нарича право обратна на оператора. ако.

Определение. Ако има един оператор, който е едновременно ляв и десен обратен. тя се нарича оператора на обратен и се означава. Това е дефиницията на оператора на обратен .:

Операторът наречен обратим (не дегенеративен).

Теорема. Почти очевидно твърдение: ако операторът има и остави обратен и десен обратен. след това.

Има примери, когато съществува едностранно обратна, а вторият не е така. Всъщност, помислете за безкрайно тримерно линейно пространство на всички полиноми - и диференциация оператора, който ги интегрира:

Тя е в безкрайно тримерно пространство, но както е случаят в крайното?

Ние доказваме теоремата: Ако - триизмерна линейно пространство и - линеен оператор го е оставил обратен. тя е и десен обратен, т.е., тя е просто оператора обратния ..:

Като се има предвид. - размерите, съществува основа на вектори. , .... Разглеждане на действие на оператора на базата вектори, посочено резултата. (). (5.1)

Ние показваме, че векторите също формират основата.

Заместител в линейна комбинация на вектор уравнение (5.1) и действа върху него от оператора:

Тъй векторите () - основен. Следователно, също основните вектори. Ние действаме по тях от страна на оператора:

На резултатът ще действа от страна на оператора:

Ако линеен оператор не променя базисни вектори, а след това не променя всеки вектор е линейна комбинация от базисни вектори:

Необходими и достатъчни условия за съществуването на оператора на обратен.

Да - линейно пространство и - линеен оператор в нея.

Ние доказваме твърдението: ако линеен оператор превръща всеки ненулев вектор в нула (различна от нула векторни нули). обратни (не) не съществуват за него.

Вземете който и да е оператор. размножават в ляво от оператора получават и акт на всеки вектор:

Тук сме използвали очевидно твърдение: всяка линеен оператор превръща вектора нула на нула :.

От друга страна ,. Т.е. Тя не съществува.

Ако се докаже твърдението на мястото на всеки ненулев вектор в най-малко една такава, тя се доказва от липсата на ляв обратен за.

Пример: разгледа п двумерен аритметика пространство и действа в него оператора. забравил първия координира на 0 и не ostolnye мен. Вземете ненулев вектор. Ако. тогава няма връщане.

Вследствие на това е необходимо условие за съществуването на оператора на обратната е изискване. но това не е достатъчно.

Пример: предполагам. Вземете го оператора на интеграция. , След това, необходимо условие е в следния формат:

Тук, необходимо условие е изпълнено и обратния оператора, както е показано по-горе, като цяло, не.

Теорема. В краен двумерен пространство необходимо условие за съществуването на оператора на обратен също е достатъчно.

- двумерен линеен пространство. , ..., - на базата на нея. Нека да прилага оператора въз основа вектори, ние получаваме векторите (5.1). Ние показваме, че те също да служат за база.

от векторите () - основен. Следователно, също основните вектори.

Както е показано в предишната глава, има уникален линеен оператор. което се превежда базисни вектори. ,

Помислете за действията на оператора въз основа вектори:

Ако базисни вектори на оператора действа като едно цяло, а след това за всеки вектор имаме:

И тъй - краен тримерно пространство.

Да - триизмерна линейно пространство и действа в него може да се обърне:

Вземете основа. , .... В тази основа оператори и отговарят на някои от матрицата. Ние ги обозначи. Естествено, наречена матрица, инверсната матрица.

Тъй като линеен пространство на квадратни матрици на поръчка е изоморфни на пространството около линейните оператори в друга подходяща тримерно пространство, съответно (5.2), ние получаваме:

Ако има една матрица. матрицата се нарича обратим (nondegenerate). При вземането на детерминантата на матрицата (5.3) получаваме числово равенство:

Следователно, ако матрицата е обратимо, тогава детерминанта не е нула. Ако си спомняте изричното изразяване на обратната матрица на детерминантата на оригиналната матрица и кофактори на неговите елементи, може да се каже, че това е необходимо условие за обратимостта на матрицата също е достатъчно.

5.4. Теорема на оператора на обратна работи оператори работа
брой оператор. Теорема на обратимостта на оператора, като основа на базата.

Теорема. Ако - две обратим оператор, а след това на техния продукт - също обратима, с

Ако - обратимо оператор и номер. операторът е обратим и

Вземете работата на операторите. умножете го в ляво. и след това наляво по

Когато операторът на умножение от оператора отново получи оператора на идентичност. което доказва нашето твърдение.

Теорема. Ако операторът взема за основа на дъното, това е обратимо оператор.

Доказателство. Като се има предвид: а размерите линеен пространство и има две бази (), където;

Трансформация на лявата и дясната страна на миналия връзката (5.4) в лявата вместо израз на заместител чрез и извадете извън оператора:

Вдясно от нула коефициенти образува линейна комбинация от нула вектори. , Съотношението (5.4) е под формата:

. т.е. и като се има предвид ограниченото двумерен операторът е обратим.