Математически тригонометрични уравнения и неравенства

Тригонометрични уравнения и неравенства

При решаване на тригонометрични уравнения инспекция намери необходимите решения, ако:

1) в разтворите за процес, използван алгебрични трансформации, които могат да доведат до увеличаване на домен на (например, намаляване на фракции);

2) разтвори, използвани в процеса на тригонометрични трансформация, която може да доведе до разширяване на областта на уравнението (това е прилагането на тригонометрични формули чиито лявата и дясната страни на които имат различни дефиниции поле, например:

3) в процеса на изграждане на разтвора се прилага върху двете страни на уравнението в същата степен.

Всяка една от тези причини може да доведе до появата на странични корени. Имайте предвид, че използването на формулите на н. 2 "отдясно наляво", напротив, може да доведе до загуба на корени, поради свиване на домейн.

Разтвор тригонометрични уравнения в повечето случаи се извършва или чрез заместване на променливата или factorizations, но единия и другия Методът се прилага в различни изпълнения, в зависимост от конкретния уравнение. Ето защо, в този раздел, вие сте поканени да се по-подробна класификация на видовете тригонометрични уравнения и методи за решаването им.

И двете страни на лесно представени като израз, който зависи само от TGX:

Освен това, заместване TGX = у. тригонометрични уравнения рационализация:

Въпреки това, може да забележите, че стойностите също така отговарят на оригиналното уравнение. Той загубил корени. Каква е причината. формули основа трансформация, намалявайки дефинициите на област :.

Преразпределяне на компонентите на уравнение:

Освен това, отляво ще използва формулата:

Сега си представете, грях х като синуса на двойно аргумент:

Носим всички компоненти в една част от уравнението и извадете общ фактор от скобите:

Отново, ние използваме формула синуса на разликата:

Последното уравнение е еквивалентно на агрегата:

По този начин, уравнението има два семейни корени, и, ако е безкрайно много корени: ако

Разглеждат като примери на комбинирани разтвори на уравнения, т.е. уравнения, при което по-горе променлива в различни комбинации, получени ирационално, разкриващи-експоненциални, логаритмични и тригонометрични операции. Този вид кандидатите за работа да доведе до някои трудности. В основата на тези предизвикателства, като правило, това е един вид негативен психологически настройка. Заявител сякаш казва за себе си: "Аз имам такива уравнения в училището не реши; нещо твърде много nakrucheno; това е извън моите правомощия. " В тази връзка, ние ще дам две парчета от съвети.

Съвета на първо място. На външен вид работа означава, че не може да се съди лекота или трудност; трудност - тази характеристика не е на работа, както и ефективността на своите знания и умения. Започнете да се реши, опитайте, опитайте, въпреки факта, че работата, която се чувства "ужасно" и недостъпни.

Съвет Two. Решаване Комбинираната уравнение като за действие, ограничаваща ирационално част на разтвора от плъзгача, плъзгачът на тригонометрични и т.н. Това може да стане чрез въвеждане на нови променливи. В края на решението се изпълнява от или по друг начин се покажат корените.

Нека след това. На следващо място, да реши да не имат комбиниран и тригонометрични уравнения. Използване формула двойна задължително аргумент:

"Тригонометрични част от" разтвор е завършена; След това трябва да се реши на експоненциално уравнение с п параметър:

На първо място, ние разберете изобщо, ако има N в корените на това уравнение. Ясно е, че тъй като в лявата част на уравнението, като сума от степени на тройката, винаги е положителен, условието за съществуването на корените на уравнението:

Ние се реши този неравенство. Ако п> 0, очевидно е, че получената система е в противоречие. Ако п ≥ 0,

Системата е еквивалентна на неравенство п ≥ 0.

По този начин, при положение че, ние получаваме извода: съществуват корените на това уравнение при стойности на п. п = 0, 1, 2, 3, .... Това е при това състояние също се постига експоненциално уравнение.

Трансформация в лявата част на уравнението на свойствата на степента:

По този начин, това е "семейство" е множество логаритми и комбинирани източник корени (индикативен - тригонометрични) уравнение.

На първо място, ние се отбележи, областта на уравнението. Тя се дава от условията:

Нека сега. След това, вместо смесените има логаритмична уравнение с две променливи и и б. Това уравнение се трансформира в уравнението: Освен това, ако приемем, че ще ни бъде лесно рационално уравнение: Уникалната корен - у = 1. Така че, това е

Следователно б = а. т.е. Корените на това семейство е тригонометрични уравнения: Лесно е да се види, че тя отговаря на домейна на оригиналното уравнение, и по този начин тя е набор от корени.

Имайте предвид, че всички решения на уравнението, трябва да започнат с близък, внимателен поглед, предназначена да бъде видян в уравнение, неравенство и т.н. нещо интересно, специални, някои "вкус", което позволява да се използва в работата си с нестандартна рецепция. Тази "връхна точка" не е винаги там, но това е обидно да се пренебрегват. В това уравнение малко "подправка" е, че ако ние използваме (за съжаление често забравени кандидатите) логаритъма на имота от дясната страна на уравнението: че веднъж, както се казва, "убие два заека с един камък", и да се отърве от радикала и отидете на един от най-логаритъм на базата.

Така, ако R = 2, тогава Освен това, ние използваме формула тригонометрични уравнението двойна задължително аргумент:

Решение съвкупност първото уравнение е семейството: второто решение:

Необходимо е да се извърши одит намери корените. За да направите това, пишем условията, които определят сферата на оригиналното уравнение:

Ясно е, че първият намерен семейства - семейство от чуждестранни корени, защото състояние е нарушено, и втората чужди семейни корени са корените на формата (като в този случай, въпреки че все още).

По този начин, корените на комбиниран източник уравнения:

Позволете да ви представим факторът два в лявата страна на уравнението по-долу, тъй като логаритъм на експонентата: и преминават към основата на логаритъма на пет от лявата страна на уравнението:

"Отхвърлянето на" логаритми, ние се по-нататък, при положение, че и като разликата между фракции в лявата страна на уравнението:

Това е квадратно уравнение в ctgx. корени и 1 -5. Т.е. В момента има колекция от:

Решение съвкупност първото уравнение е семейството: второто решение: Тук се прилага идентичност:

След това трябва да се провери на корените. Като метод за проверка в този случай, може да избере директно заместване в оригиналния уравнението. Ясно е, че те са заместени в оригиналния уравнението само една стойност, принадлежащи към това семейство. Това е достатъчно. Предпочитаните взема стойностите п = 0 и х = 1. Но можете да го направите още по-лесно: в комплекта за еквивалентност

имаме без съмнение, и така първоначалното уравнение може да бъде заместен директно с всеки от получените стойности на CTG х.

Във всеки случай по-удобно избрани от описаните подходи.

Нека п = 0; Тогава ние имаме:

Така семейството: множество източник е включен в корените на уравнението.

Да предположим, че сега CTG х = -5 (тук приложат втория подход, тъй като директна замяна упражнение х = -arcctg неудобно 5). След това, тъй като. Освен това, тъй като ctgx <0, то sin x и cos x должны быть разных знаков; имеем: и или и . В первом случае во втором случае

След заместване в оригиналния уравнение, ние имаме:

Така семейството включва също множество от корени на първоначалното уравнение.

По дефиниция, аритметика корен квадратен на подаване на еквивалентна система от уравнения.

В първия етап на разтвори уравнение разберем границите на допустимите стойности и изпълнява идентичен трансформация:

Решение на уравнението е:

Използване в процеса на намаляване на формулата решение, получаваме:

След комбиниране на сходни условия ние получаваме уравнение, което намалява до квадратно уравнение.

Това уравнение е квадратно чрез замяна на променлива.

Нека грях 2x = ш. след това:

Първо трябва да намерите областта на функцията, оставяйки в тригонометрични уравнение:

По този начин, областта на определяне на уравнението е:

На второ място, ние се реши уравнението. За тази цел, изпълнява следната идентичен трансформация:

Решаване на тригонометрични уравнения.

Ние използваме в процеса на намаляване на формула разтвор:

След приключване на смяната на променливи, получаваме:

След това, с помощта на Питагоровата тригонометрични идентичност:

Ако и след това, в противоречие с основните тригонометрични самоличността, това означава.

Ние разделяме двете страни, за да се получи:

където - реални числа, п - индекс на хомогенност.

защото Следователно, корените са.

Разделете двете страни на уравнението за получаване на:

защото и след това да има сп ъгъл, че и след това получаваме:

Този метод се основава на следното. Да разгледаме уравнението на специален вид:

Случай 1. Ако с = 0, тогава уравнението е хомогенна.

Случай 2. Ако ≠ 0 и (че има най-малко един от числа А и В не е равен на 0), а след това се разделят двете страни на уравнението за получаване на:

защото и след това да има сп ъгъл, че след това:

а) Ако, т.е. , Няма корени;

б) ако, т.е. След това:

Ние се провери неравенството :.

Очевидно е, че поради това, корените на уравнението не е.

Ние извършваме уравнението на преобразуване с помощта на формулата "универсален тригонометрични смяна":

В прехода от уравнение (1) до (2), може да има загуба на корените, така че е необходимо да се провери дали корените на корените на това уравнение.

0 + 4 (-1) = 5 - не е вярно, следователно, не е корен на първоначалното уравнение.

След това, ние се повиши записания капитал на площада и да използва формулата "квадрат сума":

Разделя се на COS х ≠ 0, получаваме:

защото Когато тя няма корени.

За решаване на уравнение: 2cos 2х - 4sin х + 1 = 0.

Ние използваме формулата: и да направите промяната - външна корен (помисли за това).

След обратна смяна.

Нанесете следствие на основната идентичност и да направи промяна тон = TG х:

Намираме избор корен и т = -1 предупреждавам лявата страна на уравнението получен: (т + 1) (4т 2 - т + 5) = 0. дискриминантен Вторият фактор е отрицателен, следователно, с уравнение все още няма корени. Свържи се с подмяна на:

Защото, а, уравнението може да се запише като :. Пред нас е така наречената хомогенна уравнение, за всички условия, от които в лявата част на сумата от степени на греха 3x и защото 3x същото.

Можем да потвърдим, че COS 3x ≠ 0 за корените на това уравнение, така че и двете страни могат да бъдат разделени в. Ние правим промяната: т = TG 3x. след това. Свържи се с подмяна на:

Решете уравнението: 5sin 4x - 12cos 4x = 6,5.

Разделете двете страни с 13:

Нека след това, и уравнението става: или където

За да реши уравнението: грях 4x + греха 3x + защото 6x + защото 7x = 0.

Превърне в сбор продукт на Синиш и уют на сумата от:

Сега напишете в лявата част на уравнението във формата:

Това равенство е възможно в два случая.

Прилагане формула намаление:

Решете уравнението: | грях 12x | + | грях 18x | = 0.

Модули сума може да бъде нула, само ако за една и съща стойност на х podmodulnyh два израза са равни на нула. Следователно е необходимо да се намерят общи корени от две уравнения:

От решаващо значение е, че решенията, дадени различни параметри числа. трябва да се направи за общите корени на уравнението където

Тъй като п - цяло число, частта е подвижен, а това е възможно само ако к се дели на три, че е така. Тогава решението на уравнението може да се запише като:

Ние считаме, от порядъка на функцията е очевидно, че го разследват до екстремум.

при х = 0 - открита критична точка.

Вляво от него точно тогава има най-много точка. Тъй като това е само екстремум, тогава функцията х = 0 се максималната си стойност: F (0) = 5.

Ние решаваме прости тригонометрични уравнение: От предишни изследвания, ние виждаме, че равенството е възможно само при условие, където

В действителност, това е само число разтвор на това неравенство. след това

Решете системата уравнения:

Нанесете метода на алгебрични допълнение: преминете към системата, уравненията, които са сбора и разликата от оригиналните уравнения.

За пореден път ние събиране и изваждане на полученото уравнение:

Решаване на система от уравнения.

Използването на заместването на второто уравнение.

Прилагане формула намаление:

Решете системата уравнения:

Изваждане първото уравнение от втората и прилага формула

Случай 1: COS 4Y = 1, тогава това от второто уравнение, т.е. защото 4x = 0. система от две прости уравнения

Решаването на получената система от уравнения, прости, ние откриваме корените на втора група:

Отново, разтворът на всеки уравнение на системата съдържа му число параметър (за всяка двойка цифри, дадени получаването на формули, в които могат да определят п и К всяко цяло число, не е задължително еднакви).

Нека да решим първо прост тригонометрични неравенството, където

Тригонометрични линия разделя кръга на две дъги. неравенства Решения съответстват на точка от дъното на дъгата, която вече не е ординатата. Ето защо, от порядъка на до решение има формата :.

Границите на следващия период на решенията могат да се получат от това чрез промяна на всяка граница на 2πn:

Осъществяване заместване обратната, ние се получи двойно неравенство за х:

Решете неравенството: | TG х | ≥ 1.

Най-малката положителна период е равен тен π, така че е достатъчно да се намери решение за обхвата на различията, а след това се добавя към πn граници. Отваряне на устройството ще се неравенство в комбинация от два неравенства.

На дъга, съответстваща на техните решения имат формата:

Моля, имайте предвид, че условията не са включени в решението, защото в не съществува тези стойности на допирателната на аргумента. Като се има предвид честотата, ние откриваме, окончателното решение:

Ние сме защото 2x = 1 - 2sin 2 х и да заместването: Т = грях х. След това в продължение на тон трябва да се реши системата на неравенството:

Контакт заместване води до х уравнение грях = -1, следователно неравенството което разтворът:

Ние използваме това и да направи промяната: т = грях 2x. Неравенство за тон има формата:

метод интервали намира разтвор:

Ние задържи пейка и да реши, получени тригонометрични неравенството:

Отговорът е обединението на интервалите получени.