Линейни оператори и матрици

За не-дегенеративен оператор оператора обратна на В, така че AB = BA = I. защото когато умножена линейни оператори на матрицата се умножават и оператора на идентичност е матрицата на идентичност, операторът на матрица обратен =.

Матрицата за трансформация на линеен оператор с промяна на база

A: X Y, dimX = п = dimY m

Е, Е, Е - първата основа в X, е, е, ..., F - секунда в X

г, д, ..., г - първата основа в Y, п, п ,, H - във втората база Y

Коефициентите, матрицата

нарича матрица координатна трансформация при прехода от базовата Е, Е, Е към базовата F, F, ..., F.

Обърнете произволен вектор х X и разширяване над векторите на двете основи, т.е.

координатна трансформация матрица P в уравнение (3) не-дегенеративен. защото в противен случай ще има линейна зависимост между колони и следователно между векторите F, F, ..., F.

където - матрицата на оператора в базите и.

Ние означаваме с P матрица координатна трансформация при прехода от базовата Е, Е, Е към базовата F, F, ..., F, чрез Q - матрица координатна трансформация при прехода от грам. г, ..., г Н, Н ,, часа, след това

Сравнявайки този израз (5), ние заключаваме, че

Помислете A: X X. Нека

Е, Е, Е - първа основа X, е, е, ..., е - секунда X.

Еквивалентно и подобна матрица

Две правоъгълни матрици А и Б от еднакъв размер наречен еквивалент. ако съществува две дегенеративен R и S квадратна матрица, така че

От (7) следва, че двете матрици, съответстващи на една и съща линейна оператор в различни бази места за X и Y са еднакви. Обратното също е вярно: ако матрица А съответства на оператор А в някои бази места за X и Y, и матрица B е еквивалентен на матрицата, той съответства на същото линеен оператор в някои други бази X и Y.

По този начин, всеки линеен оператор otobrazhayuschemuXvY съответства на класа на еквивалентни матрици.

Теорема (Критерий матрици равностойност). За две правоъгълни матрица със същия размер са равностойни, ако и само ако те имат един и същи ранг.

Необходимост. Когато се умножи всяка матрица и да е не-единствено число матрица не се променя нейното място в класацията.

, RG C RG А ,, А RG RG В.

Място е продукт на две правоъгълни матрици от ранг не надвишава всеки от факторите.

Можете да покажете обратното, т.е. че матрицата от същия ранг еквивалент. Ние доказваме повече, че всяка матрица от ранг R еквивалентно на матрицата

Достатъчност. Да предположим, че правоъгълна матрица на измерение м п. Той определя линеен оператор А, нанасяне на място X с база Е, Е, Е в Y пространство с база грам. г, ..., гр. Ние означаваме с R броя на линейно независими вектори между образите на базисни вектори Ae, AE, ..., AE. Без ограничение на общността можем да предположим, че линейно независими вектори са Ae, Ae, ..., Ae, (в противен случай можете да се преномерират на базисни вектори). Други вектори Ae, Ae, ..., Ae линейно, изразени чрез тях:

Ние дефинираме линейна пространство X е нова основа F, F, ..., е както следва:

Векторите, H ,, з на предположението за линейно независими. Допълнение тях с някои вектор ч ,, часа до Y на основа и помисли матрицата на оператора в новите бази F, F, ..., F и Н, Н ,, часа.

Коефициентите на I-тата колона на тази матрица съвпадат с координатите на векторите на основа, H ,, з. Според (9), (10) операторът на матрица ще съвпадне с I. защото матрица и съответстват на един и същ оператор, са еквивалентни.

Всички правоъгълна площ матрица М Н матрица от ранг rekvivalentny I и следователно еквивалент.

Да предположим, че сега, след като оператор на работи в пространството X.

Определение. Подобен матрица се нарича матрица B, ако съществува неособена матрица матрица Р, че

т.е. когато А е подобен на В, тогава В е подобен на А. Ако

Тъй като знак на сходство отговаря на условията рефлексивен, симетрична и преходен, това е връзка равностойност.