Концепцията за ортогонална система от функции

Opredelenie1.Sistema (снимачната площадка, събирането) на функции, определени от интервал. нарича ортогонална на този сегмент, а ако

Имайте предвид, че всички функции в системата:

Те са периодични с обща малкото положително период 2π.

В действителност, # 966; 1 (х) = 1-периодична с всяка ненулева период функция # 966; 2 (х) = cosx и 966 # 3 (х) = sinx имат най-малкото положително период 2π и функциите х cosp ISIN PX са малкото положително период. Поради това число Т = 2π е на една ръка-често и от друга страна, най-малкото положително период за всички функции в системата.

Теорема 1.Integral от периодична функция, съгласно всяка отсечка, чиято дължина е равна на положителен период не зависи от избора на интервала на интеграция.

Наистина, нека T> 0 - период от F функция (х), и - произволно реално число. Нека да докажем, че

Според добавка собственост на определени интеграли

(Тъй като определеният интеграл е независима от символа на променливата на интеграция).

Получени: i3 = - i1. Ето защо. QED.

функции теорема 2.Trigonometricheskaya система ортогонална на всеки интервал от дължината 2π.

Като се има предвид твърдението на Теорема 1, доказателството за симетричен интервал.

Ние първо да докаже, ортогоналната функция # 966; 1 (х) = 1 за всички останали:

,тъй като за всяко цяло число к нечетен функция и интеграция сегмент е симетрична.

Сега се окаже Ортогоналност на синуса над косинус:

за всяко к и т N (дори за всеки к = т), като подинтегрален е странно.

След това се окаже ортогоналност уют с различни аргументи, т.е. когато к ≠ m.

Сега провери ортогоналност синусите с различни аргументи, т.е. когато к ≠ m.

(Вж. Предишният интеграл).

Остава да се изчисли интеграли от квадратите на функциите на системата:

Определяне 3.Funktsionalny серия от формата

съставен от функциите на системата тригонометрични