Изчисление на потенциала на областта в декартови координати - studopediya
Тя може да се използва за намиране на потенциален функция на предварително определен потенциал поле
а (х, у, Z) = Р (х, у, Z) I + Q (X, Y, Z) J + R (х, у, Z) к.
За това ние се определи началната точка M0 (x0 y0 Z0 ..) и се присъединят към нея, за да текущата точка M (X, Y, Z) многоъгълни M0 AVM единици, които са успоредни на координатните оси, а именно, M0 A # 9553; О, AB # 9553 ; Ou VM # 9553; Оз (фигура 6.2). Тогава (6.6) е под формата
където X, Y, Z-координати на текущата точка на връзки начупена линия, по която интегрирането се извършва.
Пример 6.7. Докажете, че областта на вектор
а = (Е + Z) I + (х + Z) J + (х + у) к
Това е потенциал, и да намерят своя потенциал.
Решение. 1-ви начин. Необходимо и достатъчно условие за потенциал на областта (М) е равна на нула гниене на (М). В нашия случай,
т. е. потенциален област. Потенциал на това поле се определя с помощта на (6.10). За първоначална фиксирана точка вземе произход O (0, 0, 0). Тогава ние се
където С е произволно постоянна.
2-ри път. По дефиниция, потенциал е функция скаларна за които град # 966 = а. Този вектор уравнение е еквивалентно на три скаларни уравнения:
Интегриране (6.12) за х, получаваме
където F (Y, Z) е произволна диференцируема функция на Y и Z. Разнообразяване на двете страни (6.12) и като се използва (6.11), ние се получи връзка за намиране още неопределен функция е (Y, Z). имаме
,
Интегриране (6.16) по отношение на база, ние имаме
където F (Z) - все още неопределен функция на Z. Замествайки (6.17) в (6.11), получаваме
.
Разнообразяване на последното уравнение дава от Z и съотношението (6.12), ние получаваме уравнението за F (z):
Тук. така.
.
Третият метод. По дефиниция, общата диференциална функция трябва
Заместването частични производни. , израженията им от (6.10), (6.11), (6.12), получаваме
г # 966; = (Y + Z) DX + (х + Z) ди + (х + у) DZ
или, след прости трансформации,
г # 966 = (ydx + xdy) + (+ ZDX XDZ) + (+ ydz zdy) = г (XY) + г (XZ) + г (YZ) = г (XY + XZ + YZ).
От това следва, че
.
В този случай, когато площта # 937; Тя е звезда с центъра на O произход (0, 0, 0), потенциалът # 966, (М) = поле вектор и (М) в точка М (х, у, z) може да бъде намерен с формула
където R (M) = XI + YJ + zk- радиус вектор на точка М (х, у, Z), и точката (ТХ, Тай, ТЗ) преминава в ОМ отсечка, минаваща през точка О и М.
Пример 6.8. Намери потенциал поле вектор
а = yzi + xzj + xyk.
Решение. Лесно е да се види, че гният 0 ,. Д. Като се има предвид векторен потенциал област. Това поле се определя в трите измерения, което е звезда с центъра на О на произход (0, 0, 0), така че мястото на неговата потенциална употреба (6.12). Тъй като в този случай
а () = и (ТХ, Тай, ТЗ) = Т2 2 yzi + т xzj + т 2 xyk,
скаларното продукта от вектори на () и R (М) е равна на
(А (), R (М)) = т 2 (XYZ + XYZ + XYZ) = трит 2 XYZ.