Интервал оценка, платформа съдържание
оценяването интервала
Доверителен интервал и вероятност
Оценка на параметъра разпределение е приблизителна стойност, така че да го използвате трябва да знаете за грешка в преценката, това е, границите и интервалът, в която истинската стойност на очакваните параметър. Тъй като тези граници могат да се определят само на базата на случайни експериментални резултати, те са също случайни величини. Следователно, вие не само трябва да определите времето, но също така показват, надеждността на този диапазон, то е вероятно, че истинската стойност ще лежи в интервала. Трябва да се отбележи, че по-голяма увереност, че параметърът принадлежи на интервала, а след това вече закъснението. Така че търсим интервал, който принадлежи с вероятност 1 е безсмислена - цялата гама от възможни стойности на параметрите.
Определение. Интервал съдържащ неизвестен параметър с определена вероятност, по-нататък доверителен интервал съответстващ доверителна вероятност. Това означава, че ако след това - доверителен интервал, и - ниво на доверие.
Забележка 1. Тъй като границите на интервала са случайни, а не създаване, обикновено казваме "интервал обхваща параметър", а не ", съдържаща се в интервала."
Забележка 2. За дискретни разпределения точна равенство не е възможно за всички стойности, в този случай, доверителен интервал, съответстващ на вероятност се отнася до интервала задоволяване.
Определение. Интервалът се нарича асимптотичната доверителен интервал за доверителна вероятност на параметър, който съответства, ако.
Броят се нарича ниво на значимост. той определя вероятността доверителния интервал се оценява ще покрие обстановка. Степента на значимост е почти невъзможно да отделни събития от възможно. Особеното стойност (или) зависи от размера на извадката и естеството на проблема е решен. Обикновено.
Общият принцип на изграждане на доверителни интервали е както следва:
1) Ние намерите статистически данни, което зависи от неизвестен параметър, където законът на разпределение е известно (или зависи). Освен това е необходимо, че статистиката са относително обратими.
2) Да се намери квантовата и разпространението на статистически данни, така че. Имайте предвид, че има безкрайно много двойки числа, за които. Обикновено, избрани нива квантил разпространение и съответно статистика. Спомнете си, че един случаен ред квантил стойност е стойността, за която. (Вж. Фиг.)
3) да позволи относително неравенство, ние откриваме границите на доверителния интервал.
По същия начин, има и асимтотична доверителен интервал, като единствената разлика е, че в първия етап са Закона за статистиката, която има за цел разпространението на добре известния закон, който не зависи от параметъра.
интервал на доверие за очакването на нормалната стойност с известно стандартно отклонение.
Нека проба, получена от нормално общо население с известна стандартно отклонение. Задължително за изграждане на доверителен интервал за параметъра, съответстващ на нивото на степен на достоверност.
Тъй като всяко от количествата, разпределени по силата на закона, а след това пробата означава и нормално разпределение с параметри. След това.
Намерете и за кого. Тъй като разпределението е симетрична, то е разумно да се предприемат в случай на - квантил на разпределението на поръчката (фигура). След това:
Note1. Ако за намиране quantiles използва функция на Лаплас, трябва да използвате съотношението :.
Пример. Намери доверителен интервал за очакването за нормална случайна променлива с надеждност, ако ,.
Решение. Ние имаме - нормална случайна променлива с известна. Задължително за изграждане на доверителен интервал за очакването на това количество, което е за параметъра. Според маси на Лаплас функции намираме за това. Следователно ,. По този начин, с вероятността:
Забележка 2. Ако стойността не е известна, с помощта на статистически данни не е възможно да се изгради точна доверителен интервал за нормална случайна променлива. Въпреки това, за големи размери могат да се заменят с последователна оценка) (или) изграждане на статистически данни. От тогава е възможно да се използват статистиката за изграждане параметър ADI. След това, ако, - разпределението на квантил: и желания интервал има формата :.
Освен това, тъй като според централната лимит теорема, степента на асимптотично нормално разпределени за всяка случайна променлива като средна и ограничен вариацията. като цяло тази стойност може да бъде използван за изграждането на асимптотичния доверителен интервал за очакването на всеки от закона за разпределение. Ако неизвестно количество, за голям, че може да бъде заменен или последователни оценители.
Забележка 3. Функцията не е подходящ за съставяне на доверителен интервал за нормалното случайна променлива с известни параметри и неизвестното особено. Наистина, позволявайки на неравенството по отношение на, ние получаваме (в комплекта) - един безкраен доверителен интервал.
Асимптотичната доверителен интервал за параметър L на разпределението на Поасон
Нека проба, получена от населението на случайна променлива разпределя в зависимост от разпределението на Поасон с неизвестен параметър. Задължително за изграждане на доверителен интервал за параметъра, съответстващ на нивото на степен на достоверност.
Помислете за статистиката. В съответствие с CLT в. Нека разпределение квантил ниво (), тогава:
Въпреки това, за да се реши неравенството е сравнително прост, защото коренът в знаменателя. Нека се опитаме да замени в знаменателя на последователна оценка на този параметър чрез изграждане на статистически данни. Това не променя с характера на сближаване? Припомнете си, собственост на сближаване в областта на дистрибуцията, ако и тогава. След това:., Това е да се ..
По този начин, желаното ниво на асимптотичната доверителния интервал се дава от:
Асимптотичната доверителен интервал за параметър на експоненциално разпределение
Нека проба, получена от населението на случайна променлива разпределен експоненциално с неизвестен параметър. Задължително за изграждане на доверителен интервал за параметъра, съответстващ на нивото на степен на достоверност.
Помислете за статистиката. В съответствие с CLT в. Нека разпределение квантил ниво (), тогава:
По този начин, желаното ниво на асимптотичната доверителния интервал се дава от:
Разпределение, свързани с нормалното
Ние поза на проблема: изграждане на точното CI за нормални параметри за дистрибуция.
Параметър с известна - вече построен - (3.1). За неизвестен параметър. За определяне на известен. За неизвестен параметър.
За изграждане на подходящи статистически данни, помислете за броя на дистрибуции, свързани с нормалното.
Гама разпределение и неговите свойства.
Определение. Случайна променлива има разпределение на гама, където, ако функцията му плътност е:
Ето - функцията гама. ,,.
Ние откриваме характерната функция:
Използвайки характеристика функция лесно да намерите очакването и промяна на разпределението на гама:
1. Имотът е с експоненциалното разпределение с параметър.
Всъщност, ако, след това - е плътността на случайната променлива, разпределен експоненциално с параметър.
Имоти 2. Ако тогава.
Доказателство. Нека да разпределителната функция:
3. Ако имотът е независима и след това.
Доказателство. На собственост характеристика функция
- това е, характеристика функция, разпределени по.
4. Ако имотът са независими и имат стандартното нормално разпределение, а след това.
Доказателство. От това следва, от свойствата на 2 и 3.
Разпределението на "чи-квадрат"
Определение. Разпределението на сумата от квадратите на независими стандартни нормални случайни величини се нарича разпределението на "чи-квадрат" с степените на свобода и да кажа. (Самият случайна променлива също е често по-нататък).
Според тази дефиниция, и имот 4 в предишния раздел - има разпределение на гама. Следователно, плътността на разпределението:
и основните числени характеристики, режим на разпределение, когато са равни.
Графики на плътността на вероятността за различни степени на свобода са показани на фигура
Ако случайни променливи и независим, и очевидно им сума.
разпределение на Стюдънт
Определение. Да - случайна променлива, разпределени в съответствие със закона, и - независимо от това случайна променлива, разпределени в зависимост от хи-квадрат с степени на свобода. След разпределението на
Тя се нарича разпределение на Стюдънт с степените на свобода и средна.
плътност разпределение на Стюдънт:
Числени характеристики :. Студентски разпределение симетрично по отношение.
Превръщането на нормални проби. Лема Фишър
Теорема 1 (обем нормален вектор ортогонална трансформация). Да - случаен вектор, чиито координати, които са независими и имат стандартното нормално разпределение, и къде - от порядъка на правоъгълната матрица (т.е. ..). След това, на координатите на вектора са независими и имат стандартното нормално разпределение.
Доказателство. Пишем разпределението на вектора плътност. Тъй като променливите са независими и имат стандартното нормално разпределение, тогава:
За записване на разпределението на плътността на вектора, се използва формулата за плътност с линейна трансформация на вектор: ако тогава. След това, като се има предвид факта, че ние получаваме:
Но размножаването на вектор с матрица от ортогонални вектори не се променят правилата, наистина :.
Следователно, т. Е. стойности, както и стойности независими и имат стандартен нормално разпределение.
Теорема 2 (Fischer лема). Да - за вземане на проби и накъде - ортогонална матрица от ред. След това за всички статистически данни, разпределени по закон и не зависи от това.
Доказателство. От тогава (вж. Доказателството на предходната теорема). След това.
Основната последица от Лема Fisher
Да предположим, че са независими и имат нормално разпределение ,. След това:
4. и независими;
1. преди доказано.
2. Тъй като количествата, количеството.
3. Помислете за статистиката.
Представяме стандартните нормалните стойности и изрази по отношение на: къде. Възможно е да се предположи, че първоначално ценности имат стандартното нормално разпределение. Опитайте се да се прилага за лема Фишър, това може да се представи като: къде.
Ние показваме, че не е ортогонална матрица, така че векторът ще има координатите. Направете първата редица на линията на матрица. След това. Тъй като нормата на редицата (дължина вектор) е равно на 1, след това тази линия винаги може да бъде завършен за ортогонална матрица (редове и колони на ортогонална матрица - имат ортонормирана вектор).
Тогава според статистика на лема Фишер има хи-квадрат разпределение със степени на свобода на.
4. В съответствие с статистиката на лема Фишър и
стойността на независима, тогава няма да са независими.
5. Трансформация. стойност и
стойност, а следствие 4, тези променливи са независими. Следователно ,.
Точните доверителните интервали за параметрите на нормалното разпределение
1. За параметър с известна.
С вероятност: където - квантил на стандартното нормално разпределение слой.
2. За определяне на непознатото.
От следствие от Лема 5 Фишер, като се има предвид симетрията на разпределение на Student, с вероятност получаваме:
където - квантил на ниво разпределение на Стюдънт. Имайте предвид, че квантил на коефициента на разпределение на Стюдънт се нарича ниво на Student.
3. За параметър в неизвестното.
Следствие 2 Лема Фишер вероятност получи
където - Quantum хи-квадрат разпределение със степени на свобода и съответно на нивата.
4. За да неизвестния параметър.
От Лема 3 разследване вероятност Фишер получаваме
където - Quantum хи-квадрат разпределение със степени на свобода и съответно на нивата.
Пример 1: Виж доверителния интервал за нормалната стойност на дисперсия с надеждност ако.
Решение. Според таблицата за разпределение на степените на свобода, ние откриваме квантил нива и разпределение :. Ето защо, на доверителния интервал:
Пример 2. Виж доверителния интервал за очакването на случайна променлива с нормална надеждност ако ,.
Решение. Таблиците на разпределението на Student за степените на свобода, да намерите на нивото на Студентски коефициент :. По този начин, с вероятността: