Хомогенна по-висок ред диференциални уравнения с постоянни коефициенти
Линеен хомогенна диференциално уравнение \ (п \) - ти ред с постоянни коефициенти се изписва като \ [<>\ Наляво (х \ дясно) + \ дясно) >> \ наляво (х \ дясно) + \ cdots> +> Y '\ наляво (х \ дясно) + у \ лявата (х \ дясно) = 0,> \] където \ (,, \ ldots, \) - константи, които могат да бъдат реални или комплекс.
Използване на линеен диференциална оператор \ (L \ лявата (D \ полето), \) това уравнение може да се запише като \ [L \ лявата (D \ дясно) Y \ лявата (х \ дясно) = 0, \], където \ [L \ наляво (D \ дясно) = +> + \ cdots +> D +. \] за всеки диференциален оператор с постоянни коефициенти могат да се въведе характеристика полином \ [L \ ляво (\ ламбда \ дясно) = +> + \ cdots +> \ ламбда +. \] алгебрични уравнения \ [L \ наляво (\ ламбда \ дясно) + => + \ cdots +> \ ламбда + = 0 \] е характеристика уравнението на диференциално уравнение.
Според основните теорема на алгебра, полином от степен \ (п \) има точно \ (п \) корени с множества. В този случай, корените на уравнението могат да бъдат реални, така и комплексни (дори и ако всички коефициенти \ (,, \ ldots, \) валиден).
Нека разгледаме по-подробно различните случаи на корените на уравнението характеристика и съответните формули за общото решение на диференциално уравнение.
Случай 1. Всички корените на уравнението характеристика са реални и отчетлив
Да предположим, че характерното уравнение \ (L \ ляво (\ ламбда \ полето) = 0 \) има \ (п \) корен \ (,, \ ldots \). В този случай общото решение на диференциално уравнение може да бъде написана на проста форма: \ [у \ лявата (х \ полето) = х + х >> >> + \ cdots + х >>, \] където \ (\ ,, ldots \) - константи в зависимост от първоначалните условия.
Случай 2. Корените на характерната уравнението са реални и са кратни
Да предположим, че характерното уравнение \ (L \ ляво (\ ламбда \ полето) = 0 \) степен \ (п \) има \ (т \) корен \ (,, \ ldots ,, \) множество които съответно равно на \ (, , \ ldots ,. \) е ясно, че състоянието \ [+ + \ cdots + = п. \] Тогава общото решение на хомогенна диференциално уравнение с постоянни коефициенти има форма \ [х >> + хх >> + \ cdots> +> > - 1 х >> >> + \ cdots> + + 1 >> х >> + + 2 >> хх >> + \ cdots> + -. 1 >> х >>> \] Виждаме, че в общата формула решения за всеки корен \ (\) множеството \ (\) съвпада точно \ (\) членове, които се образуват чрез умножаване \ (х \) до известна степен на експоненциална функция \ на (х >>. \) степен \ (х \) измерим nyaetsya вариращи от \ (0 \) на \ (- 1 \), където \ (\) - множество корен \ (\).
Случай 3: Корените на характеристика уравнение са сложни и различни
Ако коефициентите на диференциално уравнение са реални числа, комплексът корените на характеристика уравнението ще бъдат представени под формата на двойки на комплексни числа конюгатни: \ [> = \ а \ ч аз \ р \; \;> = \ у \ ч аз \ б \ ; \ Ldots \] В този случай общото решение се изписва като \ [> \ наляво (\ защото \ бета х + \ грях \ бета х> \ дясно)> +> \ наляво (\ защото \ делта х + \ грях \ делта х> \ дясно) + \ cdots> \]
Случай 4. Корените на характеристика уравнение са сложни и множествена
Тук всяка двойка сложни конюгат корени \ (\ а \ ч аз \ р \) множество \ (к \) съответства на \ (2k \) самостоятелни решения \ [> \ COS \ бета х,> \ грях \ бета X, >> х \ защото \ бета х,> х \ грях \ бета х \ ldots, >>> \ защото \ бета х, >> \ грях \ бета х.> \] Тогава част от общото решение на диференциално уравнение, съответстващ на дадена двойка Комплекс конюгатни корени се конструират, както следва: \ [> \ наляво (\ защото \ бета х + \ грях \ бета х> \ дясно)> +> \ наляво (\ защото \ бета х + \ грях \ бета х> \ дясно) + \ cdots> + >> \ наляво (> \ защото \ бета х +> \ грях \ бета> \ полето х).> \] по принцип, когато характерния уравнението двете реални и комплексни корени на произволно множество, общото решениее конструирана като сума от разтвори на по-горе тип \ (1-4. \)
Решаване на уравнение \ (у '' '- 7Y' '+ 11у' - 5Y = 0. \)
Съответният характеристика уравнението е: \ Лесно е да се види, че един от корените е номер \ (\ ламбда = 1. \) След това, освобождавайки наляво фактор \ (\ (\ полето [- - 7 + 11 \ ламбда 5 = 0. \] ) \) ние \ [- - 6 + 6 \ ламбда + 5 \ ламбда - 5 = 0,> \; \; \ Наляво (\ дясно) - 6 \ ламбда \ наляво (\ дясно) + 5 \ наляво (\ дясно) = 0,> \; \; \ Десен) \ оставя (- 6 \ ламбда + 5> \ дясно) = 0,> \; \; \ Десен) \ ляво (\ вдясно) \ ляво (\ вдясно) = 0,> \; \; \ Десен) ^ 2> \ наляво (\ дясно) = 0.> \] По този начин, уравнението има две корени \ (= 1 \ = 5 \), първият от които има множество \ (2. \) Общото разтвор диференциално уравнение е написано, както следва: [\ у \ ляво (х \ вдясно) = \ оставени (+ х> \ вдясно) +>, \], където \ (\) \ (\) \ (\) - произволни числа ,
Решаване на уравнение \ (> - Y '' '+ 2y' = 0. \)
Ние образува характеристика формула: \ [- + 2 \ ламбда = 0. \] Разтвори от лявата страна на множители и да намерят корените: \ [\ ламбда \ лявата (- + 2> \ дясно) = 0. \] Обърнете внимание, че един от корените (. \ ламбда = -1 \) е броят на кубичен полином \ Следователно, \ (- + 2> \) на \ (\ ламбда + 1: \) \ [\ Frac - + 2 >>> = - 2 \ ламбда + 2. \] Като резултат, характерен уравнението се следната форма: \ [\ ламбда \ наляво (\ дясно) \ оставя (- 2 \ ламбда + 2> \ дясно) = 0. \] Ние откриваме корените на квадратното уравнение: \ [- 2 \ ламбда + 2 = 0,> \; \; . \; \; >> = \ Frac> = 1 \ ч I> \] По този начин, характерен уравнението има четири различни корени, две от които са сложни: \ [<= 0,\;\; = - 1,>\ ;. \;> = 1 \ ч I> \] Общата разтвор на диференциално уравнение е представена като \ [+ >> + \ наляво (\ защото х> + \ грях х> \ полето),> \], където \ (, \ ldots, \) - произволни константи.
Решаване на уравнение \ (+ 18y '' '+ 81y' = 0. \)
Характерните уравнението се изписва като \ [+ 18 + 81 \ ламбда = 0. \] разстилат върху лявата страна на множители и изчисляване на корените: \ [+ 18 + 81> \ дясно) = 0,> \; \; + 9> \ дясно) ^ 2> = 0> \] Както е видно, корените на следната формула: \ [= 0, \;> = \ ч 3i \] и въображаеми корените имат множество \ (2. \) С съответствие с посочените по-горе правила, пише цялостното решение под формата \ [+ \ наляво (+ х> \ вдясно) \ защото 3x> + + х> \ вдясно) \ грях 3x,> \], където \ (\ ldots, \) - произволни числа.