Абсолютно и условно конвергентна серия
Няколко nazyvaetsyaabsolyutno конвергентна. ако ryadtakzhe клони. Ако ryadskhoditsya абсолютно, то е конвергентна (в общоприетия смисъл на думата). Обратното не е вярно.
Няколко nazyvaetsyauslovno конвергентна. ако той клони и серията се състои от модули от нейните членове се разклонява.
Конвергентната функционални последователности и редове.
Функционални серия - серия, от които всеки обект, за разлика от поредицата от числа, тя не е число, и функцията.
Да предположим, че последователност от сложни-ценен функции в комплекта са включени в г двумерен Евклидово пространство.
Функционалната последователност клони Pointwise на функцията ако.
Има една функция, така че:
единна конвергенция на последователността на факта funktsiizapisyvaetsya:
- п-Ная частично сума.
Редица наречен конвергентна Pointwise ако последователността на частични суми клони Pointwise.
Редица наречен конвергентна равномерно ако последователността на неговия частичен сума m клони равномерно.
Коши критерий за единна конвергенция
Cauchy критерий за последователности. Това последователността на функции, определени от комплекта, се събират равномерно върху този комплект е необходимо и достатъчно за vsyakogosuschestvoval номер, така че за всеки vsehbolshe ravnyhodnovremenno за vsehvypolnyalos неравенство
Генератори от серията. теорема на Абел и следствие на него. Radius и конвергенция на интеграла.
Функционално серия (ф gdex0 предварително определен брой) се нарича степенен ред. Серията мощност клони към х = x0 винаги. Задачата - да разследва мощност серия за конвергенция. С zamenyt = х -x0 активен серия мощност може да доведе до vidu- клони при Т = 0.
Теорема Abelya.Pust мощност серия клони в някакъв момент. След тази серия клони (абсолютно).
Доказателство. Ryadskhoditsya в tochkex1 по обичайния smysleskhoditsyachislovaya posledovatelnostskhoditsya да nulyuogranichena, т.е.
Помислете: конвергентна, откъдето идва и числена серия (за fiksirovannogox) клони на основание sravneniyaskhoditsya абсолютно на снимачната площадка | х | <|x1 |
Sledstvie.Esli серия мощност отклонява tochkex2, след серията се отклонява.
Opredelenie.EsliR- брой neotrichatelnoe или има свойството, че ryadskhoditsya мощност на снимачната площадка | х |
Teorema.U vsyakgo мощност серия има радиус на конвергенция.
Доказателство. Pusta - множеството от всички не-отрицателни числа, в която степен ryadskhoditsya.
От серията клони в точка (вероятно равен). OboznachimR = Supa. Ние претендираме chtoR - радиусът на сходимост на степенен ред.
Fix да се определи точната горна granimchislotak kakryad клони tochkepo Абел теорема клони на снимачната площадка | х | Ние се определи в | х |> б> R, така че. Това е серията мощност отклонява tochkestepennoy серия се отклонява при х (от последица от теоремата на Абел) се отклонява на снимачната площадка | х |> R. SledovatelnoR = Supa - радиусът на сходимост на степенен ред. Намерете радиуса и интервал на сходимост на степенен ред. Решение. Ние правим промяната: ф = х + 3. След поредицата приема формата. Изчисляваме радиуса на сходимост на: Съответно, интервалът на конвергенция е (- ∞; ∞). Определете радиуса и интервалите на конвергенция на поредицата власт. Решение. Изчисляваме радиуса на сходимост на: Помислете за конвергенция в крайните точки. Ако X = -1, ние имат различни серии. Eslix = 1, тогава серия отклонява. Следователно, източникът ryadskhoditsya отворения интервал (- 1, 1). Намерете радиуса и интервал на сходимост на серията Решение. Тук. Радиусът на конвергенция е равно на В точка X = -1 имаме конвергентна серия. Prix = 1 получаваме разклоняващият хармоничните серии. Така предварително определен брой skhoditsyaskhoditsya на полуотворената интервала [- 1; 1).