3 на линии от втори ред
§3 втори линии ред
След като разгледа геометрични фигури, определени от уравнения от първа степен, разбира се пристъпи към проучване на изображенията, които съответстват на уравнението на втора степен. В този случай, да започне с разглеждане на различните обекти на XY координатна равнина и по този начин ще разгледа уравнение с две неизвестни, като се има предвид, че третата координата Z винаги е нула.
Общото уравнение на степен 2 с две неизвестни има формата
Ах 2 + Bxy + Су 2 + Dx + Ey + F = 0 (1)
по този начин се счита, че най-малко един от коефициентите А, В, С не е равна на нула.
Линиите, които отговарят на това уравнение се наричат криви на 2-ри ред.
Най-простият като кривата е кръг. Нека центъра на кръга е в точка M0 (а, Ь) и радиус на окръжността е R. От кръг е набор от точки, които са в предварително определено разстояние от центъра M0. след това
Имайте предвид, че в уравнение не член променливите на продукта на координатите и коефициентите на площада координират променливи са равни помежду си (в уравнението (2), тези коефициенти са равни на 1, но, разбира се, е възможно всички части на уравнението (2), умножено по всяка константа).
Криви на 2-ри ред са криви - елипса, хипербола и парабола. Освен това, допълнително се докаже, че всяка линия на втория ред е или елипса или хипербола, или парабола, или всеки случай на "дегенерация." Но преди всичко, нека да се дефинират три основни криви, да извлече своите прости уравнения и проучване на техните форми.
Определение. Елипсата е набор от точки (на самолет), сумата от разстоянията от което двете точки от данни е постоянна.
Ние избираме декартова координатна система, така че оста х минава през двете дадените точки F1 и F2. и произхода е в средата на сегмента F1 F2 (фиг. 19).
Нека М (х, у) - една от множеството точки, както е обсъдено. 2с обозначава разстоянието между точките F1 и F2 и 2а чрез предварително определено количество M разстояния F1 и F2 М. Очевидно Е1 точка има координатите (-С, 0) и координира точка F2 (а, 0).
По дефиниция, ние имаме:
следователно ние получаваме уравнението
В действителност, уравнението (4) вече имат едно уравнение на набора, който се взема предвид. Но това е неудобно за изучаване на формата; да го превърнете в по-опростена форма.
Тъй 2а> 2с (сумата от двете страни на триъгълника през третата страна) на а2-C2> 0. Предполагаме
В крайна сметка, ние получаваме (в избраната координатна система) уравнението
Очевидно е, че всеки от зададената точка, която се счита, трябва да отговаря на получената уравнение (6). Но тъй като в процеса на трансформация, двойна квадратура от двете страни на уравнението, е необходимо да се провери дали тя ще се превърне в същото време на "допълнителни" точки. С други думи, необходимо е да се провери, че всяка точка от която координатите съответстват на полученото уравнение принадлежи на множеството от точки, който се смята.
За първи път се направят някои наблюдения за формата на линията, което съответства на получената уравнението.
кривата е симетрична спрямо координатните оси, и следователно по отношение на произхода. С увеличаване | х | между 0 и | г | съществуват намалява от б до 0. крива точки само в правоъгълник (фиг. 20).
Сега се увери, че всяка точка на линията, която се определя от уравнението получава принадлежи към определен набор. За да направите това, ние трябва да покажем, че ако координатите на произволна точка M0 (x0, y0) отговаря на уравнението
Асимптота на хипербола в този случай перпендикулярни една на друга. Такова хипербола се нарича равностранен.
Трета база крива на ред 2 е парабола.
Определение. Парабола е множеството от точки (в равнината), на еднакво разстояние от дадена точка и прицелната линия.
Ние избираме абсциса правоъгълна Декартова координатна ос, така че да преминава през дадена точка F перпендикулярна на дадена линия L, нека произхода е в средата FK (fig.23) сегмент. абсциса посока е показана на фигурата.
Разстоянието от точка F с права линия L е обозначен с р. Тогава точката F ще има координатите и уравнението на линията L :.
Нека М (х, у) - произволна точка на комплекта под внимание и А - основа на перпендикуляра от М до L.
От точка А има координати и по дефиниция, а след това
Лесно е да се провери, че за квадратура, ние не са влезли в "екстра" точки. Всъщност, замествайки в експресията на Y 2 2px. Ние се получи, а оттам и равенство.
От тогава той не може да бъде отрицателна, както и всички точки на лъжата крива в дясната половина на самолета. Когато х нараства от 0 до - | Y | увеличения за неопределено време. Също така е ясно, че кривата е симетрично спрямо оста х.
Предвид точка F е фокусна точка на параболата, точката на пресичане на параболата с нейната ос на симетрия - върха на параболата.
Уравнения (елипсовидни) (хипербола), Y 2 = 2px (парабола) бяха получени със специално най-удобно място координатни оси. Поради това, получено уравнение се нарича просто каноничните уравнения или криви на 2-ри ред.
С цел да се запознаят с методите на привеждане на уравненията на кривите на 2-ри ред, определен в друга координатна система, до такава проста форма, е необходимо да получава формулата преобразуване на координатни системи.
* Примери за решаване на проблемите
1.171. Запишете уравнение на окръжност, която има център в точката (5, -7) и преминава през точката (2, 3).
Ние считаме, Δ кръг радиус като разстоянието от централната си точка към даден
Сега обиколката на уравнение (2) замени координатите на центъра и радиуса на който се намира
1.172. Намерете координатите на центъра и радиуса на кръга
х 2 + Y 2 -4Н-14ф + 17 = 0
Делта презапис това уравнение, както следва:
-4Н х 2 + Y 2 + 4 -14u + 49 + 17-4-49 = 0
Сравняване на това уравнение с уравнението на кръг (2) добиви: а = 2, б = 7, R = 6. Следователно, в центъра на кръга е в (2; 7) и радиус равен на 6. ▲
1.173. Виж уравнението на елипса, чиято огнища е точка Е1 (0; 0) и F2 (0; 8) и полуос А = 5.
Δ на разстоянието от точка М (х, у), равна на огнища на и съответно елипсата. Според определението на елипса, ние имаме, че
Опростяване на това уравнение, получаваме
Ние избираме точен квадрат на "Y"
25з 9 2 (Y 2 -8u + 16) = 225
Разделете от 225 и да получите каноничното уравнение на елипса:
Осите на симетрия на елипсата ще бъдат линия х = 0 и = 4, а = полуос 5, малката ос б = 3. ▲
1. Изчислете 174. полуосите хипербола ако направляващата дефинирани уравнения и ъгълът между линията на асимптоти.
Δ директорка свързани с полу-хипербола формули
а, б - хиперболата половината линия. Уравненията на асимптоти и.
Според изявлението на проблема получаваме система от две уравнения
Следователно, следователно, б = 6. ▲
1.175 Добави уравнението на параболата, който преминава през точката (0, 0) и (1, -2) и симетрични по отношение на оста Ox.
Δ уравнението на параболата, който преминава през точката (0, 0) е симетрична по отношение на Ox има формата У2 = 2px.
При условие, че параболата преминава през точката (1 -2) дава (-2) 2 = 2грама
Това означава, че се изисква уравнението на параболата ще изглежда